Calcule os seguintes produtos usando multiplicação em bloco.
(b)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de multiplicação de matrizes usando a técnica de multiplicação em bloco. Aqui, temos duas matrizes: a primeira é uma matriz de tamanho e a segunda é uma matriz de tamanho . Nosso objetivo é multiplicar essas duas matrizes para obter uma nova matriz resultante.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que para multiplicar duas matrizes, o número de colunas da primeira matriz precisa ser igual ao número de linhas da segunda matriz. No nosso caso, a primeira matriz tem 2 colunas e a segunda tem 2 linhas, então está tudo certo para multiplicar.

Passo 3

A matriz resultante terá o número de linhas da primeira matriz e o número de colunas da segunda matriz. Então, nossa matriz final será de tamanho .

Passo 4

Agora, vamos multiplicar cada linha da primeira matriz por cada coluna da segunda matriz. A célula na posição da matriz resultante é obtida multiplicando os elementos da -ésima linha da primeira matriz pelos elementos da -ésima coluna da segunda matriz e somando esses produtos.

Passo 5

Vamos fazer os cálculos passo a passo:
  1. Elemento (1,1):
  2. Elemento (1,2):
  3. Elemento (1,3):
  4. Elemento (1,4):
  5. Elemento (2,1):
  6. Elemento (2,2):
  7. Elemento (2,3):
  8. Elemento (2,4):
  9. Elemento (3,1):
  10. Elemento (3,2):
  11. Elemento (3,3):
  12. Elemento (3,4):
  13. Elemento (4,1):
  14. Elemento (4,2):
  15. Elemento (4,3):
  16. Elemento (4,4):

Resposta

A matriz resultante da multiplicação é:

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Sc e são particionadas em submatrizes, por exemplo,
então pode ser expresso como
sempre que os tamanhos das submatrizes de e são tais que as operações indicadas podem ser efetuadas. Este método de multiplicação de matrizes particionadas é chamado multiplicação em bloco. Em cada parte, calcule o produto usando multiplicação em bloco. Confira seus resultados multiplicando diretamente.
(a)
Seja um espaço vetorial sobre . Prove, para todo e , que:
a) ,
b) ,
c) só é possível se ou ,
d) .