Seja W um espaço vetorial sobre R. Prove, para todo alpha in R e u, v in W, que:
a) alpha 0=0,
b) 0 u=0,
c) alpha u=0 só é possível se alpha=0 ou u=0,
d) (-alpha) u=alpha(-u)=-alpha u.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos um espaço vetorial sobre os números reais e queremos provar algumas propriedades envolvendo o vetor zero e a multiplicação por escalares. Para isso, vamos usar as propriedades dos espaços vetoriais, como a existência do vetor zero e as regras de multiplicação por escalares.

Passo 2

a) Provar que alpha 0 = alpha (0 + 0) = alpha 0 + alpha 0 para todo alpha 0 = 0
Primeiro, lembre-se que é o vetor zero no espaço vetorial, e uma das propriedades dos espaços vetoriais é que qualquer vetor multiplicado por zero dá o vetor zero.
Vamos usar a propriedade distributiva da multiplicação:
Subtraindo de ambos os lados:

Passo 3

b) Provar que 0u = (0 + 0)u = 0u + 0u para todo 0u = 0
Aqui, queremos mostrar que multiplicar qualquer vetor por zero resulta no vetor zero.
Usamos a propriedade distributiva:
Subtraindo de ambos os lados:

Passo 4

c) Provar que u = 1alpha 0 = 0 só é possível se ou
Vamos supor que . Queremos mostrar que isso só acontece se ou é o vetor zero.
Se , podemos multiplicar ambos os lados por :
Então, se , necessariamente . Se , a igualdade sempre é verdadeira, independentemente de .

Passo 5

d) Provar que (-alpha)u = (-1)alpha u = alpha(-u)
Primeiro, vamos mostrar que alpha(-u) = -(alpha u) .
Usando a propriedade distributiva:
(-alpha)u = alpha(-u) = -alpha u
Agora, para mostrar que , usamos a propriedade que multiplicar um vetor por inverte sua direção:
Portanto:

Resposta

Através dessas provas, mostramos que:
a) ,
b) ,
c) só ocorre se ou ,
d) .

Exercícios relacionados