Seja um espaço vetorial sobre . Prove, para todo e , que:
a) ,
b) ,
c) só é possível se ou ,
d) .

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos um espaço vetorial sobre os números reais e queremos provar algumas propriedades envolvendo o vetor zero e a multiplicação por escalares. Para isso, vamos usar as propriedades dos espaços vetoriais, como a existência do vetor zero e as regras de multiplicação por escalares.

Passo 2

a) Provar que para todo
Primeiro, lembre-se que é o vetor zero no espaço vetorial, e uma das propriedades dos espaços vetoriais é que qualquer vetor multiplicado por zero dá o vetor zero.
Vamos usar a propriedade distributiva da multiplicação:
Subtraindo de ambos os lados:

Passo 3

b) Provar que para todo
Aqui, queremos mostrar que multiplicar qualquer vetor por zero resulta no vetor zero.
Usamos a propriedade distributiva:
Subtraindo de ambos os lados:

Passo 4

c) Provar que só é possível se ou
Vamos supor que . Queremos mostrar que isso só acontece se ou é o vetor zero.
Se , podemos multiplicar ambos os lados por :
Então, se , necessariamente . Se , a igualdade sempre é verdadeira, independentemente de .

Passo 5

d) Provar que
Primeiro, vamos mostrar que .
Usando a propriedade distributiva:
Agora, para mostrar que , usamos a propriedade que multiplicar um vetor por inverte sua direção:
Portanto:

Resposta

Através dessas provas, mostramos que:
a) ,
b) ,
c) só ocorre se ou ,
d) .

Exercícios relacionados

Calcule os seguintes produtos usando multiplicação em bloco.
(b)
  1. Os vetores e geram o .
Seja o espaço vetorial das matrizes sobre . Verifique quais dos seguintes conjuntos abaixo são subespaços de .
a)
b) é triangular superior (Pesquise o que é uma matriz triangular superior).
c) é diagonal (Pesquise o que é uma matriz diagonal).
d) possui inversa