Seja
um espaço vetorial sobre
. Prove, para todo
e
, que:
a)
,
b)
,
c)
só é possível se
ou
,
d)
.
a)
b)
c)
d)
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos um espaço vetorial
sobre os números reais
e queremos provar algumas propriedades envolvendo o vetor zero e a multiplicação por escalares. Para isso, vamos usar as propriedades dos espaços vetoriais, como a existência do vetor zero e as regras de multiplicação por escalares.
Passo 2
a) Provar que
para todo
Primeiro, lembre-se que
é o vetor zero no espaço vetorial, e uma das propriedades dos espaços vetoriais é que qualquer vetor multiplicado por zero dá o vetor zero.
Vamos usar a propriedade distributiva da multiplicação:
Subtraindo
de ambos os lados:
Passo 3
b) Provar que
para todo
Aqui, queremos mostrar que multiplicar qualquer vetor
por zero resulta no vetor zero.
Usamos a propriedade distributiva:
Subtraindo
de ambos os lados:
Passo 4
c) Provar que
só é possível se
ou
Vamos supor que
. Queremos mostrar que isso só acontece se
ou
é o vetor zero.
Se
, podemos multiplicar ambos os lados por
:
Então, se
, necessariamente
. Se
, a igualdade
sempre é verdadeira, independentemente de
.
Passo 5
d) Provar que
Primeiro, vamos mostrar que
.
Usando a propriedade distributiva:
Agora, para mostrar que
, usamos a propriedade que multiplicar um vetor por
inverte sua direção:
Portanto:
Resposta
Através dessas provas, mostramos que:
a)
,
b)
,
c)
só ocorre se
ou
,
d)
.