Calcule as seguintes raízes complexas: raiz(-1, 3)

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para calcular as raízes cúbicas de -1, ou seja, encontrar todos os números complexos que satisfazem . Para isso, vamos usar conceitos de números complexos e raízes de números complexos, especialmente a representação polar dos números.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que qualquer número complexo pode ser representado na forma polar: , onde é o módulo e é o argumento do número. No nosso caso, queremos achar tal que .

Passo 3

Vamos expressar o número -1 na forma polar. Sabemos que -1 está no eixo real negativo, então seu módulo é 1 e o argumento é (ou 180 graus). Assim, temos:

Passo 4

Agora, queremos encontrar tal que . Se , então:
Igualando isso a -1, temos:
Isso porque os argumentos são iguais até um múltiplo de .

Passo 5

Resolvendo para :
E para :
Consideramos apenas para obter as raízes distintas dentro de um círculo completo de .

Passo 6

Calculando as três raízes:
Para :
Para :
Para :

Resposta

As três raízes cúbicas de -1 são:

Exercícios relacionados