Calcule as seguintes raízes complexas:
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício que pede para calcular as raízes cúbicas de -1, ou seja, encontrar todos os números complexos
que satisfazem
. Para isso, vamos usar conceitos de números complexos e raízes de números complexos, especialmente a representação polar dos números.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que qualquer número complexo pode ser representado na forma polar: , onde
é o módulo e
é o argumento do número. No nosso caso, queremos achar
tal que
.
Passo 3
Vamos expressar o número -1 na forma polar. Sabemos que -1 está no eixo real negativo, então seu módulo é 1 e o argumento é
(ou 180 graus). Assim, temos:
Passo 4
Agora, queremos encontrar
tal que . Se , então:
Igualando isso a -1, temos:
Isso porque os argumentos são iguais até um múltiplo de
.
Passo 5
Resolvendo para
:
E para
:
Consideramos apenas
para obter as raízes distintas dentro de um círculo completo de
.
Passo 6
Calculando as três raízes:
Para
:
Para
:
Para
:
Resposta
As três raízes cúbicas de -1 são: