(a) A B X=C
(b) A X^2 C=A X B C
© A X^-1=C A
(d) A X^t B=A B-I, calcule X, sendo A=[ll2 & 5 2 & 4], B=[ll-1 & 1 -1 & 2].

Passo 1

Beleza, vamos resolver a parte (d) do exercício. A gente tem a equação , onde e são matrizes dadas. Nosso objetivo é encontrar a matriz . Para isso, vamos precisar usar conceitos de multiplicação de matrizes e multiplicação por matrizes inversas.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular A = 2 & 5 2 & 4 , B = -1 & 1 -1 & 2 . Isso significa multiplicar a matriz pela matriz .
Dados:
Para multiplicar duas matrizes, a gente multiplica as linhas da primeira matriz pelas colunas da segunda e soma os resultados.

Passo 3

Calculando A B = 2 times (-1) + 5 times (-1) & 2 times 1 + 5 times 2 2 times (-1) + 4 times (-1) & 2 times 1 + 4 times 2 = -2 -5 & 2 + 10 -2 -4 & 2 + 8 = -7 & 12 -6 & 10 :

Passo 4

Agora, vamos montar a equação A B = -7 & 12 -6 & 10 . Já sabemos que I = 1 & 0 0 & 1 é:
A B - I = -7 -1 & 12 -0 -6 -0 & 10 -1 = -8 & 12 -6 & 9
E a matriz identidade de ordem 2 é:
Então,

Passo 5

Nossa equação agora é:
A X^t B = -8 & 12 -6 & 9
Queremos isolar X^t = A^-1 (A B - I) B^-1 . Para isso, vamos multiplicar ambos os lados pela inversa de à esquerda e pela inversa de à direita.
Ou seja:

Passo 6

Primeiro, vamos encontrar A^-1 = 1det A d & -b -c & a . Para uma matriz 2 & 5 2 & 4 , a inversa é dada por:
det A = 2 times 4 - 5 times 2 = 8 - 10 = -2
Onde A^-1 = 1-2 4 & -5 -2 & 2 = -2 & 2.5 1 & -1 .
Para :
Então,

Passo 7

Agora, vamos encontrar -1 & 1 -1 & 2 . Para det B = (-1) times 2 - 1 times (-1) = -2 + 1 = -1 :
B^-1 = 1-1 2 & -1 1 & -1 = -2 & 1 -1 & 1
Então,

Passo 8

Agora substituímos na equação para X^t = A^-1 (A B - I) B^-1 = -2 & 2.5 1 & -1 -8 & 12 -6 & 9 -2 & 1 -1 & 1 :
Vamos resolver passo a passo.

Passo 9

Primeiro, multiplicamos -2 & 2.5 1 & -1 -8 & 12 -6 & 9 = (-2)(-8) + 2.5(-6) & (-2)(12) + 2.5(9) 1(-8) + (-1)(-6) & 1(12) + (-1)(9) = 16 -15 & -24 +22.5 -8 +6 & 12 -9 = 1 & -1.5 -2 & 3 por :

Passo 10

Agora, multiplicamos o resultado pela 1 & -1.5 -2 & 3 -2 & 1 -1 & 1 = 1(-2) + (-1.5)(-1) & 1(1) + (-1.5)(1) -2(-2) + 3(-1) & -2(1) + 3(1) = -2 +1.5 & 1 -1.5 4 -3 & -2 +3 = -0.5 & -0.5 1 & 1 :

Passo 11

Então, temos que:
X^t = -0.5 & -0.5 1 & 1
Para encontrar X = ( X^t )^t = -0.5 & 1 -0.5 & 1 , basta tirar a transposta de :

Resposta

A matriz X = -0.5 & 1 -0.5 & 1 que satisfaz a equação dada é:

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S1:c2 x-5 y+2 z=0 x+y+z=0 2 x+k z=0
S2:ccx+6 y-k z+w & =0 x+y-w & =0 4 x+y+6 z+k w & =0.
(a) Para cada sistema, encontre os valores de k para os quais o sistema seja possível e indeterminado.
(b) Para cada sistema, considere k=-3 e determine a solução.
Considere a matriz A=[llx1 & y1 x2 & y2], veremos que o valor absoluto do det(A) é exatamente a área do paralelogramo determinado pelos vetores u=(x1, y1) e v=(x2, y2), sendo u e v vetores não paralelos.
  • Consideremos o caso em que u e v são perpendiculares. Assim, se x1 neq 0 e x2 neq 0 é claro que
y1x1 cdot y2x2=-1 Rightarrow x1 x2+y1 y2=0
como x1=0 Rightarrow y2=0 e x2=0 Rightarrow y1=0 ( pois u e v são perpendiculares), então:
x1 x2+y1 y2=0, forall u, v
Sejam a a área do paralelogramo determinado por u e v, l1 e l2 comprimentos de u e v respectivamente, assim temos:
a^2=l1^2 l2^2=(x1^2+y1^2)(x2^2+y2^2)=|cc x1^2+y1^2 & 0 0 & x2^2+y2^2 |=det(A A^t)=(det(A))^2,
portanto a=|det(A)|.
A cdot adj(A)=[bi j], onde bi j=sumk ai k Cj k
Na diagonal, bi i=ai 1 Ci 1+cdots+ai n Cj n=det A. Para i neq j, ou seja, fora da diagonal, temos bi j=ai 1 Cj 1+cdots+ai n Cj n=0. Portanto:
A cdot adj(A)=(det A) In
Esta igualdade permite determinar a inversa caso det A neq 0.
Proposição 1.82. Para toda matriz quadrada, A invertível, temos:
A^-1=1det(A) adj(A)
Exemplo 1.83. Sabemos que a matriz A=[ccc-1 & -2 & 0 1 & 4 & 1 5 & 0 & 1] é invertível, com
det(A)=-12 e adj(A)=[ccc 4 & 2 & -2 4 & -1 & 1 -20 & -10 & -2 ]
logo,
A^-1=-112[ccc 4 & 2 & -2 4 & -1 & 1 -20 & -10 & -2 ]
(a) Determine X em função de A e C.
(b) Calcule X, se A=C=[ccc1 & 0 & 1 -6 & 2 & 3 -1 & -1 & -3].