Considere a matriz , veremos que o valor absoluto do é exatamente a área do paralelogramo determinado pelos vetores e , sendo e vetores não paralelos.
Consideremos o caso em que e são perpendiculares. Assim, se e é claro que
como e ( pois e são perpendiculares), então:
Sejam a área do paralelogramo determinado por e e comprimentos de e respectivamente, assim temos:
portanto a=|det(A)|.
Passo 1
Então, a gente tem uma matriz x1 & y1 x2 & y2 que representa dois vetores e . O problema está falando sobre como o valor absoluto do determinante dessa matriz, , é igual à área do paralelogramo formado por esses dois vetores. Vamos precisar entender um pouco sobre determinantes e áreas de paralelogramos para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o determinante de uma matriz 2x2. Para a matriz a & b c & d , o determinante é calculado assim:
det(A) = ad - bc
Esse valor nos dá algumas informações sobre as propriedades da matriz, como se ela é invertível ou não.
Passo 3
Agora, vamos falar sobre a área do paralelogramo formado pelos vetores Área = |det(A)| e . Quando temos dois vetores no plano, o paralelogramo que eles formam tem uma área que pode ser calculada usando o determinante da matriz formada por esses vetores. Ou seja:
Á
Isso acontece porque o determinante mede como o espaço é esticado ou retraído pela transformação linear representada pela matriz .
Passo 4
Vamos considerar o caso especial em que os vetores y1x1 cdot y2x2 = -1 implies x1x2 + y1y2 = 0 e são perpendiculares. Nesse caso, a inclinação de um vetor é o negativo do inverso da inclinação do outro. Matematicamente, isso significa:
Isso mostra que o produto interno dos vetores é zero, o que confirma que eles são perpendiculares.
Passo 5
Quando Área = l1 cdot l2 e Área^2 = l1^2 cdot l2^2 = (x1^2 + y1^2)(x2^2 + y2^2) são perpendiculares, a área do paralelogramo também pode ser calculada multiplicando os comprimentos dos vetores. Se e são os comprimentos de e , respectivamente, então:
Á
Elevando ao quadrado ambos os lados, temos:
Á
Passo 6
Essa expressão pode ser representada como o determinante do produto da matriz Área^2 = det(A A^t) = (det(A))^2 pela sua transposta Área = |det(A)| :
Á
Tomando a raiz quadrada dos dois lados, obtemos:
Á
Isso confirma que a área do paralelogramo formado por e é igual ao valor absoluto do determinante de .
Resposta
Portanto, a área do paralelogramo determinado pelos vetores e é igual a .