Calcule o seno do maior ângulo de um triângulo cujos lados medem 4,6 e 8 metros.

Passo 1

Então, a gente tem um triângulo com lados medindo 4, 6 e 8 metros. O objetivo é calcular o seno do maior ângulo desse triângulo. Para resolver isso, vamos usar um pouco de trigonometria, especificamente as Leis dos Senos e dos Cossenos. Vamos precisar identificar qual é o maior ângulo e depois aplicar essas leis para encontrar o seno desse ângulo.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar qual é o maior ângulo do triângulo. Sabemos que, em qualquer triângulo, o maior ângulo está oposto ao maior lado. Aqui, o maior lado mede 8 metros, então o maior ângulo está oposto a esse lado. Vamos chamar esse ângulo de $ C $.

Passo 3

Agora, para encontrar o seno do ângulo $ C $, vamos usar a Lei dos Cossenos. Essa lei relaciona os lados de um triângulo com o cosseno de um dos ângulos. A fórmula da Lei dos Cossenos é:
C
Onde:
  • $ c $ é o lado oposto ao ângulo $ C $ (no nosso caso, 8 metros),
  • $ a $ e $ b $ são os outros dois lados (4 e 6 metros).

Passo 4

Vamos substituir os valores na fórmula:
8^2 = 4^2 + 6^2 - 2 times 4 times 6 times cos(C)
Calculando os quadrados:
64 = 16 + 36 - 48 cos(C)
Somando 16 e 36:
64 = 52 - 48 cos(C)

Passo 5

Agora, vamos isolar $ \cos© $:
cos(C)
64 - 52 = -48 cos(C)
Dividindo ambos os lados por -48:
12 = -48 cos(C)

Passo 6

Com o valor de $ \cos© $ encontrado, queremos o seno desse ângulo. Usamos a relação trigonométrica básica:
cos(C)
Então:
sin^2(C) + cos^2(C) = 1
Portanto:
sin^2(C) = 1 - cos^2(C) = 1 - (-14)^2 = 1 - 116 = 1516

Resposta

O seno do maior ângulo desse triângulo é $ \frac{\sqrt{15}}{4} $.

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