Calcule a série de Fourier da função f dada por
f(x)= L+x, & -L <= x <= 0 ; L-x, & 0 <= x <= L
f(x+2 L)=f(x) forall x in R
Esboce o gráfico da função definida por esta série e use a série para calcular a soma da série numérica
sumk=1^infty 1(2 k-1)^2=1+13^2+15^2+17^2+19^2 cdots

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de séries de Fourier juntos! O problema pede para calcular a série de Fourier da função que é definida de forma diferente em dois intervalos e depois se repete a cada . Além disso, vamos esboçar o gráfico dessa série e usar ela para calcular a soma da série numérica . Para isso, vamos precisar entender como calcular a série de Fourier para funções periódicas e como usar essa série para encontrar a soma de séries infinitas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a função f(x) = L + x, & -L <= x <= 0; L - x, & 0 <= x <= L . Ela é definida por:
E essa função se repete a cada , ou seja, para todo .

Passo 3

Agora, vamos lembrar que a série de Fourier para uma função periódica pode ser escrita como uma soma de funções senoidais e cossenoidais. No caso dessa função ser ímpar ou par, podemos simplificar a série. Observando , vemos que ela é uma função par porque . Então, a série de Fourier vai conter apenas termos de cosseno.

Passo 4

A fórmula geral da série de Fourier para uma função par é:
f(x) = a02 + sumn=1^infty an cos(npi xL)
Onde os coeficientes an = 1L integral-L^L f(x) cos(npi xL) dx são calculados por:

Passo 5

Vamos calcular o coeficiente a0 = 1L integral-L^L f(x) dx :
a0 = 1L ( integral-L^0 (L + x) dx + integral0^L (L - x) dx )
Substituindo a0 = 1L ( [ Lx + x^22 ]-L^0 + [ Lx - x^22 ]0^L ) = 1L (0 - (-L^2 + L^22) + (L^2 - L^22) - 0) = 1L (L^22 + L^22) = L :
Calculando as integrais:

Passo 6

Agora, vamos calcular os coeficientes an = 1L ( integral-L^0 (L + x) cos(npi xL) dx + integral0^L (L - x) cos(npi xL) dx ) :
an = 2L integral0^L (L - x) cos(npi xL) dx
Devido à simetria par, podemos simplificar para:

Passo 7

Vamos resolver a integral:
integral0^L (L - x) cos(npi xL) dx
Usando integração por partes, onde integral (L - x) cos(npi xL) dx = Lnpi sin(npi xL) - Lnpi x sin(npi xL) + L^2n^2 pi^2 cos(npi xL) + C e an = 4Ln^2 pi^2 (1 - (-1)^n) , encontramos:
Aplicando os limites de 0 a L, após simplificação, obtemos:
Isso mostra que apenas os termos ímpares contribuem para a série de Fourier.

Passo 8

Então, a série de Fourier da função f(x) = a02 + sumk=1^infty a2k-1 cos((2k-1)pi xL) é:
f(x) = L2 + 8Lpi^2 sumk=1^infty 1(2k-1)^2 cos((2k-1)pi xL)
Substituindo e , temos:

Passo 9

Para esboçar o gráfico, notamos que a série de Fourier converge para a função original . Assim, o gráfico será uma forma de onda com picos e vales correspondentes aos intervalos definidos, repetindo-se a cada .

Passo 10

Agora, vamos usar a série de Fourier para calcular a soma da série numérica:
sumk=1^infty 1(2k-1)^2
Vamos avaliar a série de Fourier em um ponto específico onde sabemos o valor de f(0) = L . Por exemplo, em L = L2 + 8Lpi^2 sumk=1^infty 1(2k-1)^2 cos(0) Rightarrow L = L2 + 8Lpi^2 sumk=1^infty 1(2k-1)^2 :
L2 = 8Lpi^2 sumk=1^infty 1(2k-1)^2 Rightarrow sumk=1^infty 1(2k-1)^2 = pi^216
Substituindo na série de Fourier:
Simplificando:

Resposta

A soma da série numérica é .

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