Calcule a série de Fourier da função
dada por
Esboce o gráfico da função definida por esta série e use a série para calcular a soma da série numérica
Esboce o gráfico da função definida por esta série e use a série para calcular a soma da série numérica
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de séries de Fourier juntos! O problema pede para calcular a série de Fourier da função
que é definida de forma diferente em dois intervalos e depois se repete a cada
. Além disso, vamos esboçar o gráfico dessa série e usar ela para calcular a soma da série numérica
. Para isso, vamos precisar entender como calcular a série de Fourier para funções periódicas e como usar essa série para encontrar a soma de séries infinitas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a função
. Ela é definida por:
E essa função se repete a cada
, ou seja,
para todo
.
Passo 3
Agora, vamos lembrar que a série de Fourier para uma função periódica pode ser escrita como uma soma de funções senoidais e cossenoidais. No caso dessa função ser ímpar ou par, podemos simplificar a série. Observando
, vemos que ela é uma função par porque
. Então, a série de Fourier vai conter apenas termos de cosseno.
Passo 4
A fórmula geral da série de Fourier para uma função par é:
Onde os coeficientes
são calculados por:
Passo 5
Vamos calcular o coeficiente
:
Substituindo
:
Calculando as integrais:
Passo 6
Agora, vamos calcular os coeficientes
:
Devido à simetria par, podemos simplificar para:
Passo 7
Vamos resolver a integral:
Usando integração por partes, onde
e
, encontramos:
Aplicando os limites de 0 a L, após simplificação, obtemos:
Isso mostra que apenas os termos ímpares contribuem para a série de Fourier.
Passo 8
Então, a série de Fourier da função
é:
Substituindo
e
, temos:
Passo 9
Para esboçar o gráfico, notamos que a série de Fourier converge para a função original
. Assim, o gráfico será uma forma de onda com picos e vales correspondentes aos intervalos definidos, repetindo-se a cada
.
Passo 10
Agora, vamos usar a série de Fourier para calcular a soma da série numérica:
Vamos avaliar a série de Fourier em um ponto específico onde sabemos o valor de
. Por exemplo, em
:
Substituindo na série de Fourier:
Simplificando:
Resposta
A soma da série numérica é
.