Determine a transformada e a integral de Fourier das funções abaixo:
Passo 1
Beleza! Vamos resolver esse exercício juntos. O enunciado pede para determinar a transformada de Fourier e a integral de Fourier de uma função específica. O conteúdo que vamos usar aqui é a teoria das transformadas de Fourier, que é uma ferramenta matemática importante para analisar funções no domínio das frequências. Para resolver isso, vamos precisar entender como aplicar a definição da transformada de Fourier e manipular integrais envolvendo funções senoidais.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a função que estamos lidando. A função é definida da seguinte forma:
Isso significa que a função é uma senoide de frequência dentro de um intervalo centrado em zero, com limite determinado por , e é zero fora desse intervalo.
Passo 3
Agora, vamos lembrar o que é a transformada de Fourier. A transformada de Fourier de uma função F(omega) = integral-infty^infty f(x) e^-i omega x , dx é dada por:
Vamos integrar cada termo separadamente. A integral de F(omega) = 12i ( e^i (omega0 - omega) xi (omega0 - omega) |-N piomega0^N piomega0 - e^-i (omega0 + omega) xi (omega0 + omega) |-N piomega0^N piomega0 ) é . Aplicando isso:
Passo 6
Calculando os limites das integrais:
Para o primeiro termo:
e^i (omega0 - omega) N piomega0 - e^-i (omega0 - omega) N piomega0i (omega0 - omega)
E para o segundo termo:
e^-i (omega0 + omega) N piomega0 - e^i (omega0 + omega) N piomega0i (omega0 + omega)
Passo 7
Simplificando usando as identidades de exponenciais para funções senoidais:
e^i theta - e^-i theta = 2i sin(theta)
Aplicando isso aos termos acima:
F(omega) = 12i ( 2i sin( N pi (omega0 - omega)omega0 )i (omega0 - omega) - 2i sin( N pi (omega0 + omega)omega0 )i (omega0 + omega) )
Passo 8
Simplificando os fatores de F(omega) = 12 ( sin( N pi (1 - omegaomega0 ) )omega0 - omega - sin( N pi (1 + omegaomega0 ) )omega0 + omega ) e cancelando termos:
Passo 9
Essa expressão representa a transformada de Fourier da função f(x) = 12pi integral-infty^infty F(omega) e^i omega x , domega . Agora, para a integral de Fourier (que geralmente se refere à reconstrução da função a partir da transformada), usamos a transformada inversa de Fourier:
Mas como já determinamos , a integral de Fourier envolve substituir essa expressão e resolver, o que geralmente resulta na função original .
Resposta
A transformada de Fourier da função F(omega) = 12 ( sin( N pi (1 - omegaomega0 ) )omega0 - omega - sin( N pi (1 + omegaomega0 ) )omega0 + omega ) é dada por:
E a integral de Fourier, que reconstrói a função a partir da sua transformada, retorna à função original .