Use o Teorema de Green para determinar o trabalho realizado pelo campo de forças
em uma partícula que se move ao longo do caminho especificado.
26.3. Calcule
, onde
é a cardioide
26.3. Calcule
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício usando o Teorema de Green, que ajuda a transformar uma integral de linha em uma integral dupla, facilitando nossos cálculos. A gente precisa calcular o trabalho realizado por um campo de forças ao longo de um caminho específico, que nesse caso é uma cardioide dada por
para
.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar o que temos na integral de linha que precisamos calcular:
Aqui, podemos ver que
e
. O Teorema de Green nos diz que:
Então, vamos calcular as derivadas parciais necessárias.
Passo 3
Calculando as derivadas parciais:
Substituindo na fórmula do Teorema de Green:
Passo 4
Agora, nossa integral dupla fica:
Isso significa que precisamos calcular a área
da região
delimitada pela cardioide.
Passo 5
Para encontrar a área de uma curva em coordenadas polares, usamos a fórmula:
No nosso caso,
, então:
Vamos integrar isso de
a
.
Passo 6
Sabemos que:
e
Então, a área fica:
Passo 7
Voltando à nossa integral original:
Resposta
O trabalho realizado pelo campo de forças é
.