Use o Teorema de Green para determinar o trabalho realizado pelo campo de forças F em uma partícula que se move ao longo do caminho especificado.
26.3. Calcule ointc y cdot d x-x cdot d y, onde C é a cardioide
r=a(1+cos (theta)) (0 <= theta <= 2 pi)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício usando o Teorema de Green, que ajuda a transformar uma integral de linha em uma integral dupla, facilitando nossos cálculos. A gente precisa calcular o trabalho realizado por um campo de forças ao longo de um caminho específico, que nesse caso é uma cardioide dada por para .

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o que temos na integral de linha que precisamos calcular:
ointC y , dx - x , dy
Aqui, podemos ver que ointC P , dx + Q , dy = integral duplaD ( partial Qpartial x - partial Ppartial y ) dA e . O Teorema de Green nos diz que:
Então, vamos calcular as derivadas parciais necessárias.

Passo 3

Calculando as derivadas parciais:
partial Qpartial x = partial (-x)partial x = -1
partial Ppartial y = partial ypartial y = 1
Substituindo na fórmula do Teorema de Green:
partial Qpartial x - partial Ppartial y = -1 - 1 = -2

Passo 4

Agora, nossa integral dupla fica:
integral duplaD (-2) , dA = -2 integral duplaD dA
Isso significa que precisamos calcular a área da região delimitada pela cardioide.

Passo 5

Para encontrar a área de uma curva em coordenadas polares, usamos a fórmula:
A = 12 integral0^2pi r^2 , dtheta
No nosso caso, r^2 = a^2 (1 + cos(theta))^2 = a^2 (1 + 2cos(theta) + cos^2(theta)) , então:
Vamos integrar isso de a .

Passo 6

Sabemos que:
integral0^2pi cos(theta) , dtheta = 0
e
integral0^2pi cos^2(theta) , dtheta = pi
Então, a área fica:
A = 12 a^2 [ integral0^2pi 1 , dtheta + 2 cdot 0 + pi ] = 12 a^2 (2pi + pi) = 32 pi a^2

Passo 7

Voltando à nossa integral original:
-2 integral duplaD dA = -2 cdot 32 pi a^2 = -3pi a^2

Resposta

O trabalho realizado pelo campo de forças é .

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