Calcule, justificando cada passagem (não se preocupe com o domínio de f(x) ): d/dx arcsin(x)

Passo 1

Então, temos a função e precisamos encontrar a sua derivada em relação a x. Estamos trabalhando com cálculo, mais especificamente com derivadas de funções trigonométricas inversas. Para resolver isso, vamos usar algumas regras básicas de derivação e trigonometria.

Passo 2

Vamos lembrar que a derivada de uma função nos dá a inclinação da tangente à curva dessa função em qualquer ponto. Para encontrar a derivada de , podemos usar a relação entre as funções trigonométricas inversas e suas derivadas conhecidas.

Passo 3

Sabemos que se , então podemos escrever a relação inversa: . Agora, queremos encontrar , que é a derivada que buscamos.

Passo 4

Vamos diferenciar ambos os lados da equação em relação a x. Lembre-se que y é uma função de x, então usamos a regra da cadeia:
Isso resulta em:

Passo 5

Agora, isolamos para encontrar a derivada:

Passo 6

Mas queremos a derivada em termos de x. Sabemos que , então podemos usar a identidade trigonométrica para encontrar :

Passo 7

Substituindo na expressão da derivada:

Resposta

A derivada de em relação a x é .

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