Calcule, justificando cada passagem (não se preocupe com o domínio de
):
Passo 1
Então, temos a função
e precisamos encontrar a sua derivada em relação a
. Estamos trabalhando com cálculo, mais especificamente com derivadas de funções trigonométricas inversas. Para resolver isso, vamos usar algumas regras básicas de derivação e trigonometria.
Passo 2
Vamos lembrar que a derivada de uma função nos dá a inclinação da tangente à curva dessa função em qualquer ponto. Para encontrar a derivada de
, podemos usar a relação entre as funções trigonométricas inversas e suas derivadas conhecidas.
Passo 3
Sabemos que se
, então podemos escrever a relação inversa:
. Agora, queremos encontrar
, que é a derivada que buscamos.
Passo 4
Vamos diferenciar ambos os lados da equação
em relação a
. Lembre-se que
é uma função de
, então usamos a regra da cadeia:
Isso resulta em:
Passo 5
Agora, isolamos
para encontrar a derivada:
Passo 6
Mas queremos a derivada em termos de
. Sabemos que
, então podemos usar a identidade trigonométrica
para encontrar
:
Passo 7
Substituindo
na expressão da derivada:
Resposta
A derivada de
em relação a
é
.