Calcule a solução geral das equações diferenciais dadas:
Res.:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial:
. Aqui, estamos trabalhando com equações diferenciais ordinárias do segundo grau. Para resolver, vamos precisar usar técnicas de resolução de equações lineares e conhecer um pouco sobre equações homogêneas e particular.
Passo 2
Primeiro, vamos deixar a equação na forma padrão dividindo tudo por
:
Isso facilita identificar os coeficientes da equação.
Passo 3
Agora, vamos resolver a equação homogênea associada, que é
. Para isso, assumimos que a solução
tem a forma
.
Passo 4
Substituindo
na equação homogênea:
Substituindo na equação:
Simplificando:
Para que isso seja válido para todo
, temos
, ou seja,
.
Passo 5
Então, a solução da equação homogênea é:
Passo 6
Agora, precisamos encontrar uma solução particular
da equação completa. Observando o lado direito
, tentamos uma solução do tipo
, já que a derivada de
simplifica a equação.
Passo 7
Calculando as derivadas:
Substituindo na equação original:
Isso não funciona, então precisamos tentar outra forma. Vamos tentar
.
Passo 8
Calculando as derivadas:
Substituindo na equação original:
Para que isso seja válido, igualamos os coeficientes:
Como estamos buscando uma solução particular, escolhemos
.
Passo 9
Portanto, a solução particular é:
Passo 10
Juntando as soluções homogênea e particular, temos a solução geral:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
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Calcule a solução geral das equações diferenciais dadas:
Res.:
Em cada um dos itens abaixo, calcule
, onde
é um vetor unitário normal exterior a
.
a superfície da região
.
Seja
e dado
. Encontre
.
Utilize o método de variação de parâmetros para calcular a solução geral das equações diferenciais dadas:
Res.:
.