Calcule a solução geral das equações diferenciais dadas:
Res.:
Passo 1
Vamos resolver a equação diferencial
. Esse tipo de equação é uma equação diferencial linear de Cauchy-Euler, que é útil para equações com coeficientes polinomiais. Para resolvê-la, precisamos encontrar soluções da forma
, onde
é um número que determinaremos.
Passo 2
Primeiro, vamos supor que a solução é
. Então, calculamos as derivadas:
Passo 3
Substituímos
,
e
na equação original:
Simplificando os termos:
Passo 4
Fatoramos
e igualamos a equação a zero:
Como
nunca é zero, resolvemos a equação característica:
Passo 5
Resolvemos a equação quadrática:
Utilizando a fórmula de Bhaskara:
Encontramos uma raiz dupla
.
Passo 6
Como temos uma raiz dupla, a solução geral da equação diferencial é:
Substituindo
:
Resposta
Exercícios relacionados
Em cada um dos itens abaixo, calcule
, onde
é um vetor unitário normal exterior a
.
a superfície da região
.
Calcule a solução geral das equações diferenciais dadas:
Res.:
Seja
e dado
. Encontre
.