Em cada um dos itens abaixo, calcule integral duplaS F cdot n d S, onde n é um vetor unitário normal exterior a S.
F=3 x y i-32 y^2 j+z k ; S a superfície da região Q=(x, y, z) in R^3: x^2+y^2 <= 1, x^2+y^2 <= z <= 5-x^2-y^2.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos que calcular a integral de superfície , onde e é a superfície da região . A matéria envolvida aqui é o cálculo vetorial, mais especificamente, integrais de superfície e o Teorema da Divergência. Vamos precisar entender como aplicar o Teorema da Divergência para simplificar esse cálculo.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é o Teorema da Divergência. Esse teorema nos permite transformar uma integral de superfície em uma integral de volume. Ou seja, . Isso facilita bastante nosso trabalho, já que calcular uma integral de volume geralmente é mais simples.

Passo 3

Agora, vamos calcular a divergência de nabla cdot F = partialpartial x(3xy) + partialpartial y(-32 y^2) + partialpartial z(z) , que é . A divergência é dada pela soma das derivadas parciais de cada componente da função vetorial:

Passo 4

Calculando cada derivada:
partialpartial x(3xy) = 3y
partialpartial y(-32 y^2) = -3y
partialpartial z(z) = 1
Então, a divergência fica:
nabla cdot F = 3y - 3y + 1 = 1

Passo 5

Com a divergência calculada, nossa integral de volume fica:
integral triplaQ 1 , dV
Isso significa que precisamos calcular o volume da região .

Passo 6

Vamos analisar a região Q = (x, y, z) in R^3 : x^2 + y^2 <= 1, x^2 + y^2 <= z <= 5 - x^2 - y^2 :
Isso descreve uma região circular com raio 1 no plano , limitada inferiormente pelo paraboloide e superiormente pelo paraboloide .

Passo 7

Para calcular o volume, vamos usar coordenadas cilíndricas, onde:
x = r cos theta, y = r sin theta, z = z
O elemento de volume em coordenadas cilíndricas é .

Passo 8

Os limites de integração são:
r in [0, 1], theta in [0, 2pi], z in [r^2, 5 - r^2]
Então, a integral de volume fica:
integral0^2pi integral0^1 integralr^2^5 - r^2 r , dz , dr , dtheta

Passo 9

Vamos integrar em relação a integralr^2^5 - r^2 dz = (5 - r^2) - r^2 = 5 - 2r^2 primeiro:
integral0^2pi integral0^1 r (5 - 2r^2) , dr , dtheta
Então, a integral se simplifica para:

Passo 10

Agora, integramos em relação a integral0^1 r (5 - 2r^2) , dr = integral0^1 5r - 2r^3 , dr = [ 52 r^2 - 12 r^4 ]0^1 = 52 - 12 = 2 :

Passo 11

Por fim, integramos em relação a integral0^2pi 2 , dtheta = 2 cdot 2pi = 4pi :

Resposta

O valor da integral de superfície é .

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circledast Prove a seguinte identidade
d/dt [u(t) * v(t)] = u'(t) * v(t) + u(t) * v'(t)
Calcule a solução geral das equações diferenciais dadas: x^2 y'' - 4 y' = x^4 Res.: y = c1 + c2 x^5 + (1/5) x^5 ln(x)
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