Em cada um dos itens abaixo, calcule
, onde
é um vetor unitário normal exterior a
.
a superfície da região
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos que calcular a integral de superfície
, onde
e
é a superfície da região
. A matéria envolvida aqui é o cálculo vetorial, mais especificamente, integrais de superfície e o Teorema da Divergência. Vamos precisar entender como aplicar o Teorema da Divergência para simplificar esse cálculo.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é o Teorema da Divergência. Esse teorema nos permite transformar uma integral de superfície em uma integral de volume. Ou seja,
. Isso facilita bastante nosso trabalho, já que calcular uma integral de volume geralmente é mais simples.
Passo 3
Agora, vamos calcular a divergência de
, que é
. A divergência é dada pela soma das derivadas parciais de cada componente da função vetorial:
Passo 4
Calculando cada derivada:
Então, a divergência fica:
Passo 5
Com a divergência calculada, nossa integral de volume fica:
Isso significa que precisamos calcular o volume da região
.
Passo 6
Vamos analisar a região
:
Isso descreve uma região circular com raio 1 no plano
, limitada inferiormente pelo paraboloide
e superiormente pelo paraboloide
.
Passo 7
Para calcular o volume, vamos usar coordenadas cilíndricas, onde:
O elemento de volume em coordenadas cilíndricas é
.
Passo 8
Os limites de integração são:
Então, a integral de volume fica:
Passo 9
Vamos integrar em relação a
primeiro:
Então, a integral se simplifica para:
Passo 10
Agora, integramos em relação a
:
Passo 11
Por fim, integramos em relação a
:
Resposta
O valor da integral de superfície é
.
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