Calcule a solução geral das equações diferenciais dadas: x^2 y'' - x y' + y = 2 x Res.: y = c1 * x + c2 * x * ln(x) + x * (ln(x))^2

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente resolver a equação diferencial . O que isso quer dizer? Basicamente, temos uma equação que relaciona uma função com suas derivadas segunda ( ) e primeira ( ). Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de equações diferenciais lineares, especificamente encontrar a solução geral que inclui a solução homogênea e uma solução particular.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a parte homogênea da equação, ou seja, a equação sem o termo independente. Isso fica assim:
Essa é uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes que dependem de . Para resolver, vamos tentar uma solução da forma , onde é um número que vamos descobrir.

Passo 3

Vamos substituir na equação homogênea. Primeiro, calculamos as derivadas:
Agora, substituímos na equação:
Simplificando os termos:
Fatorando :
O que nos dá a equação característica:

Passo 4

Resolvendo a equação característica , encontramos:
Isso significa que temos uma raiz dupla . Quando isso acontece, a solução geral da parte homogênea é:
ê

Passo 5

Agora, precisamos encontrar uma solução particular da equação completa . Como o lado direito é , que já está presente na solução homogênea, vamos tentar uma solução particular de uma forma que não seja solução da homogênea.
Então, vamos supor uma solução particular da forma:

Passo 6

Vamos verificar se essa forma funciona. Calculamos as derivadas:
Substituindo na equação original:
Simplificando:
Perceba que os termos com e se cancelam, restando:
Isso confirma que nossa suposição está correta.

Resposta

A solução geral da equação diferencial dada é:
onde e são constantes arbitrárias.

Exercícios relacionados

circledast Encontre o comprimento de arco traçado pelo ponto final da representação posicional de sigma(t) quando t cresce de t1 = 1 para t2 = 4 se
sigma(t) = e^t sen(t) i + e^t cos(t) j
Utilize o método de variação de parâmetros para calcular a solução geral das equações diferenciais dadas: y'' + 2y' + y = e^(-t) ln(t) Res.: y = c1 * e^(-t) + c2 * t * e^(-t) + (1/2) * t^2 * e^(-t) * ln(t) - (3/4) * t^2 * e^(-t).
Utilize integração por partes para calcular: integral x^5 e^-x^2 d x Resposta: -12 e^-x^2(x^4+2 x^2+2)+c
Nos exercícios a seguir, encontre o comprimento de arco da curva de t1 até t2
(a) sigma(t) = (t + l) i - t^2 j + (1 - 2t) k;
t1 = 0, t2 = 2
(b) sigma(t) = sen(2t) i + cos(2t) j + 2t^(3/2) k;
t1 = 0, t2 = 2
© sigma(t) = e^t * cos(t) * i + e^t * sen(t) * j + e^t * k;
t1 = 0, t2 = 2
(d) sigma(t) = t^2 i + (t + t^3 / 3) j + (t - t^3 / 3) k;
t1 = 0, t2 = 2
(e) sigma(t) = 4 t^(3/2) i - 3 sen(t) j + 3 cos(t) k;
t1 = 0, t2 = 2