Calcule a solução geral das equações diferenciais dadas:
Res.:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente resolver a equação diferencial
. O que isso quer dizer? Basicamente, temos uma equação que relaciona uma função
com suas derivadas segunda (
) e primeira (
). Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de equações diferenciais lineares, especificamente encontrar a solução geral que inclui a solução homogênea e uma solução particular.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a parte homogênea da equação, ou seja, a equação sem o termo independente. Isso fica assim:
Essa é uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes que dependem de
. Para resolver, vamos tentar uma solução da forma
, onde
é um número que vamos descobrir.
Passo 3
Vamos substituir
na equação homogênea. Primeiro, calculamos as derivadas:
Agora, substituímos na equação:
Simplificando os termos:
Fatorando
:
O que nos dá a equação característica:
Passo 4
Resolvendo a equação característica
, encontramos:
Isso significa que temos uma raiz dupla
. Quando isso acontece, a solução geral da parte homogênea é:
Passo 5
Agora, precisamos encontrar uma solução particular da equação completa
. Como o lado direito é
, que já está presente na solução homogênea, vamos tentar uma solução particular de uma forma que não seja solução da homogênea.
Então, vamos supor uma solução particular da forma:
Passo 6
Vamos verificar se essa forma funciona. Calculamos as derivadas:
Substituindo na equação original:
Simplificando:
Perceba que os termos com
e
se cancelam, restando:
Isso confirma que nossa suposição está correta.
Resposta
A solução geral da equação diferencial dada é:
onde
e
são constantes arbitrárias.
Exercícios relacionados
Utilize o método de variação de parâmetros para calcular a solução geral das equações diferenciais dadas:
Res.:
.
Utilize integração por partes para calcular:
Resposta:
Nos exercícios a seguir, encontre o comprimento de arco da curva de
até
(a) ;
(b) ;
© ;
(d) ;
(e) ;
(a)
(b)
©
(d)
(e)