Beleza, galera! Vamos resolver o exercício que pede para encontrar o comprimento do arco da curva definida pela função vetorial no intervalo de até . Para isso, vamos usar o conceito de comprimento de arco em cálculo, que basicamente nos ajuda a medir o quanto a curva ‘se estende’ entre dois pontos.
Passo 2
Primeiro, precisamos lembrar a fórmula para calcular o comprimento de arco de uma curva parametrizada por :
Aqui, é a derivada da função vetorial em relação a , e representa o comprimento desse vetor derivada.
Passo 3
Vamos achar a derivada da função vetorial dada:
Calculando a derivada componente a componente:
Derivada de em relação a é .
Derivada de em relação a é .
Derivada de em relação a é .
Então,
Passo 4
Agora, vamos calcular a norma desse vetor derivada . A norma de um vetor é dada por:
Aplicando isso à nossa :
Passo 5
Agora, substituímos na fórmula do comprimento de arco e integramos de até :
Passo 6
Para resolver essa integral, vamos usar uma substituição trigonométrica. Observamos que a expressão dentro da raiz é do tipo , que sugere a substituição:
Vamos calcular os elementos necessários para a substituição:
E substituindo na integral:
Simplificando dentro da raiz:
Então, a integral fica:
Passo 7
A integral de é conhecida e seu resultado é:
Portanto,
Passo 8
Agora, precisamos reverter a substituição trigonométrica para voltar em termos de . Lembrando que:
E, pelo triângulo retângulo, temos:
Substituindo de volta:
Simplificando:
Passo 9
Finalmente, avaliamos a integral definida de a :
Calculando em :
E em :
Portanto, o comprimento do arco é:
Resposta
O comprimento do arco da curva no intervalo de a é dado por: