Encontre o comprimento de arco traçado pelo ponto final da representação posicional de
quando
cresce de
para
se
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos encontrar o comprimento do arco percorrido pelo ponto final da função vetorial
quando o parâmetro
varia de
para
. Isso envolve conhecimentos de Cálculo, especificamente no tópico de comprimento de arco para curvas paramétricas. Para resolver, vamos precisar calcular a derivada de
, encontrar a velocidade do ponto e então integrar essa velocidade no intervalo dado.
Passo 2
A função vetorial dada é:
Aqui,
e
são os vetores unitários nas direções dos eixos
e
, respectivamente.
Passo 3
Para encontrar o comprimento do arco, precisamos calcular a velocidade do ponto, que é a derivada de
em relação a
. Vamos derivar cada componente separadamente.
Derivada de
:
Derivada de
:
Passo 4
Agora, a velocidade
é dada pela magnitude do vetor derivada:
Substituindo
e
:
Passo 5
Vamos simplificar a expressão dentro da raiz:
Fatorando
:
Passo 6
Expandindo os termos dentro dos colchetes:
Somando ambos:
Pois
.
Passo 7
Substituindo de volta:
Passo 8
Agora, o comprimento do arco
é a integral da velocidade de
a
:
Passo 9
Calculando a integral:
Portanto:
Resposta
O comprimento do arco percorrido pelo ponto final de
de
a
é:
Exercícios relacionados
Utilize o método de variação de parâmetros para calcular a solução geral das equações diferenciais dadas:
Res.:
.
Seja
e dado
. Encontre
.
Calcule a solução geral das equações diferenciais dadas:
Res.:
Utilize integração por partes para calcular:
Resposta: