Calcule a soma da série dada. sumk=0^+infty 1(4 k+1)(4 k+5)

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos calcular a soma da série infinita . Para resolver isso, vamos usar o conteúdo de séries infinitas e frações parciais, que são técnicas matemáticas para simplificar e somar termos de séries.

Passo 2

Vamos começar decompondo a fração 1(4k+1)(4k+5) = A4k+1 + B4k+5 em frações parciais. Isso significa que queremos escrever essa expressão como a soma de duas frações mais simples:
Nosso objetivo agora é encontrar os valores de e .

Passo 3

Multiplicando ambos os lados da equação por 1 = A(4k+5) + B(4k+1) para eliminar os denominadores, temos:
Agora, precisamos encontrar valores para e que satisfaçam essa igualdade para todos os valores de .

Passo 4

Vamos escolher valores específicos de 1 = A(0+5) + B(0+1) Rightarrow 1 = 5A + B para facilitar a resolução:
  1. Se 1 = A(4(-14)+5) + B(4(-14)+1) Rightarrow 1 = A(4) + B(0) Rightarrow A = 14 :
1 = 5(14) + B Rightarrow 1 = 54 + B Rightarrow B = 1 - 54 = -14
  1. Se (para eliminar ):
Substituindo na primeira equação:

Passo 5

Agora que temos 1(4k+1)(4k+5) = 1/44k+1 - 1/44k+5 e sumk=0^+infty ( 1/44k+1 - 1/44k+5 ) , podemos reescrever a fração original:
14 ln(5)
Então, a série fica:
Isso é uma série telescópica, onde a maioria dos termos se cancela. Somando os primeiros termos e observando o comportamento quando tende ao infinito, restará apenas:

Resposta

A soma da série é .

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