Calcule a soma da série dada.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos calcular a soma da série infinita
. Para resolver isso, vamos usar o conteúdo de séries infinitas e frações parciais, que são técnicas matemáticas para simplificar e somar termos de séries.
Passo 2
Vamos começar decompondo a fração
em frações parciais. Isso significa que queremos escrever essa expressão como a soma de duas frações mais simples:
Nosso objetivo agora é encontrar os valores de
e
.
Passo 3
Multiplicando ambos os lados da equação por
para eliminar os denominadores, temos:
Agora, precisamos encontrar valores para
e
que satisfaçam essa igualdade para todos os valores de
.
Passo 4
Vamos escolher valores específicos de
para facilitar a resolução:
- Se
:
- Se
(para eliminar ):
Substituindo
na primeira equação:
Passo 5
Agora que temos
e
, podemos reescrever a fração original:
Então, a série fica:
Isso é uma série telescópica, onde a maioria dos termos se cancela. Somando os primeiros termos e observando o comportamento quando
tende ao infinito, restará apenas:
Resposta
A soma da série é
.
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Encontre a solução dos PVI abaixo. Esboce o gráfico da solução e descreva seu comportamente quando
.