Calcule a soma da série dada.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente calcular a soma de uma série infinita, que é uma sequência de números somados que vai até o infinito. A série que temos é:
Vamos precisar usar um método chamado frações parciais para simplificar essa expressão e facilitar a soma.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que são frações parciais. Esse método serve para quebrar uma fração complicada em frações mais simples que somadas dão a original. No nosso caso, queremos escrever:
onde A, B, C e D são constantes que vamos determinar.
Passo 3
Multiplicamos ambos os lados da igualdade por
para eliminar os denominadores:
Agora, precisamos encontrar os valores de A, B, C e D que satisfazem essa equação para todos os valores de k.
Passo 4
Para encontrar A, B, C e D, podemos escolher valores específicos de k que simplificam a equação:
- Se
:
- Se
:
- Se
:
- If
:
Passo 5
Agora que temos A, B, C e D, podemos reescrever a fração original:
Passo 6
Vamos agora somar essa expressão para k de 1 até infinito:
Podemos separar a soma em quatro somas menores:
Passo 7
Observamos que essas somas são harmônicas, mas com índices deslocados. Vamos reindexar cada soma para alinhá-las:
- Para a segunda soma, deixe
:
- Para a terceira soma, deixe
:
- Para a quarta soma, deixe
:
Passo 8
Substituindo de volta:
Agora, vamos combinar essas somas para ver como elas se cancelam.
Passo 9
Vamos considerar os termos individualmente:
- O termo
inclui todos os termos a partir de . - O termo
começa em , então o termo está faltando. - Da mesma forma, os outros termos começam em
e , respectivamente.
Quando somamos tudo, muitos termos vão se cancelar, deixando apenas alguns termos iniciais.
Passo 10
Fazendo a soma, percebemos que a maior parte dos termos se cancela:
A maioria dos termos subsequentes se anula, restando apenas os primeiros termos:
Resposta
A soma da série infinita é
.
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