Calcule a soma da série dada. sumk=1^+infty 1k(k+1)(k+2)(k+3)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente calcular a soma de uma série infinita, que é uma sequência de números somados que vai até o infinito. A série que temos é:
sumk=1^+infty 1k(k+1)(k+2)(k+3)
Vamos precisar usar um método chamado frações parciais para simplificar essa expressão e facilitar a soma.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que são frações parciais. Esse método serve para quebrar uma fração complicada em frações mais simples que somadas dão a original. No nosso caso, queremos escrever:
1k(k+1)(k+2)(k+3) = Ak + Bk+1 + Ck+2 + Dk+3
onde A, B, C e D são constantes que vamos determinar.

Passo 3

Multiplicamos ambos os lados da igualdade por 1 = A(k+1)(k+2)(k+3) + Bk(k+2)(k+3) + Ck(k+1)(k+3) + Dk(k+1)(k+2) para eliminar os denominadores:
Agora, precisamos encontrar os valores de A, B, C e D que satisfazem essa equação para todos os valores de k.

Passo 4

Para encontrar A, B, C e D, podemos escolher valores específicos de k que simplificam a equação:
  • Se 1 = A(1)(2)(3) Rightarrow 1 = 6A Rightarrow A = 16 :
1 = B(-1)(1)(2) Rightarrow 1 = -2B Rightarrow B = -12
  • Se 1 = C(-2)(-1)(1) Rightarrow 1 = 2C Rightarrow C = 12 :
1 = D(-3)(-2)(-1) Rightarrow 1 = -6D Rightarrow D = -16
  • Se :
  • If :

Passo 5

Agora que temos A, B, C e D, podemos reescrever a fração original:
1k(k+1)(k+2)(k+3) = 16k - 12(k+1) + 12(k+2) - 16(k+3)

Passo 6

Vamos agora somar essa expressão para k de 1 até infinito:
sumk=1^+infty ( 16k - 12(k+1) + 12(k+2) - 16(k+3) )
Podemos separar a soma em quatro somas menores:
16 sumk=1^+infty 1k - 12 sumk=1^+infty 1k+1 + 12 sumk=1^+infty 1k+2 - 16 sumk=1^+infty 1k+3

Passo 7

Observamos que essas somas são harmônicas, mas com índices deslocados. Vamos reindexar cada soma para alinhá-las:
  • Para a segunda soma, deixe sumk=1^+infty 1k+1 = sumn=2^+infty 1n :
sumk=1^+infty 1k+2 = sumn=3^+infty 1n
  • Para a terceira soma, deixe sumk=1^+infty 1k+3 = sumn=4^+infty 1n :
  • Para a quarta soma, deixe :

Passo 8

Substituindo de volta:
16 sumk=1^+infty 1k - 12 sumn=2^+infty 1n + 12 sumn=3^+infty 1n - 16 sumn=4^+infty 1n
Agora, vamos combinar essas somas para ver como elas se cancelam.

Passo 9

Vamos considerar os termos individualmente:
  • O termo inclui todos os termos a partir de .
  • O termo começa em , então o termo está faltando.
  • Da mesma forma, os outros termos começam em e , respectivamente.
Quando somamos tudo, muitos termos vão se cancelar, deixando apenas alguns termos iniciais.

Passo 10

Fazendo a soma, percebemos que a maior parte dos termos se cancela:
16 cdot 11 + ( 16 cdot 12 - 12 cdot 12 ) + ( 16 cdot 13 - 12 cdot 13 + 12 cdot 13 ) + dots
A maioria dos termos subsequentes se anula, restando apenas os primeiros termos:
16 cdot 1 + 16 cdot 12 = 16 + 112 = 212 + 112 = 312 = 14

Resposta

A soma da série infinita é .

Exercícios relacionados

Calcule a soma da série dada. sumk=1^+infty[1+(-1)^k]
Calcule a soma da série dada. sumk=2^+infty(13)^k
Calcule a soma da série dada. sumk=0^+infty 1(4 k+1)(4 k+5)
Calcule a soma da série dada. sumk=1^+infty 2 k+1k^2(k+1)^2