Calcule a soma da série dada.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente precisa fazer aqui é calcular a soma de uma série infinita:
. Isso tá dentro do conteúdo de séries infinitas. Pra resolver, vamos precisar entender de fracções parciais e como simplificar séries.
Passo 2
Primeiro, vamos dar uma olhada no termo geral da série:
. Nosso objetivo é simplificar isso para facilitar a soma. Uma técnica útil aqui é escrever o termo como uma diferença de frações, o que pode fazer a série “deslizar” (ou seja, muitos termos vão se cancelar).
Passo 3
Vamos tentar expressar
como a diferença de duas frações quadráticas:
Isso funciona porque, se você fizer a subtração no lado direito:
Então, a gente conseguiu simplificar o termo geral!
Passo 4
Agora que a expressão está simplificada, podemos somar a série:
Isso é uma série telescópica, onde a maioria dos termos se cancela. Vamos ver como fica:
Perceba que
se cancela com
,
com
, e assim por diante.
Passo 5
Depois de cancelar os termos intermediários, o que sobra é apenas o primeiro termo da série:
E como a série vai até o infinito, os termos que se aproximam de zero não afetam o resultado final.
Resposta
A soma da série é igual a 1.
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Encontre a solução dos PVI abaixo. Esboce o gráfico da solução e descreva seu comportamente quando
.
Suponha que soluções da equação de Cauchy-Euler (linear, homogênea, de segunda ordem, com coeficientes variáveis):
sejam da forma
.
Mostre que se as raízes da equação característica forem reais e distintas, , a solução geral da equação de Cauchy-Euler é dada por:
Mostre que se as raízes da equação característica forem reais e distintas,