Calcule a soma da série dada. sumk=1^+infty[1+(-1)^k]

Passo 1

Ok, vamos lá! A gente precisa calcular a soma da série infinita . Para fazer isso, vamos usar conceitos de séries infinitas e entender quando uma série converge ou diverge.

Passo 2

Primeiro, vamos dividir a série em duas partes para facilitar a análise:
sumk=1^+infty[1 + (-1)^k] = sumk=1^+infty1 + sumk=1^+infty(-1)^k
Ou seja, temos a soma de duas séries: uma que soma 1 repetidamente e outra que soma os termos .

Passo 3

Vamos olhar para a primeira série: 1 + 1 + 1 + 1 + dots . Aqui, estamos somando 1 infinitas vezes:
Essa série não tem um limite finito; à medida que somamos mais termos, o resultado fica cada vez maior sem parar. Portanto, essa série diverge, ou seja, não converge para um valor específico.

Passo 4

Agora, vamos analisar a segunda série: -1 + 1 - 1 + 1 - 1 + dots . Essa é uma série alternada porque os termos mudam de sinal a cada passo:
Essa série não se estabiliza em nenhum valor específico e, na verdade, seus termos oscilam entre -1 e 1. Portanto, essa s��rie também não converge para um valor fixo.

Passo 5

Finalmente, combinando as duas análises:
sumk=1^+infty[1 + (-1)^k] = (diver>=) + (não conver>=) ã
Como uma das séries diverge, a soma total da série original também não converge e, na verdade, tende ao infinito.

Resposta

A soma da série diverge, ou seja, não possui um valor finito.

Exercícios relacionados

Calcule a soma da série dada. sumk=2^+infty(13)^k
Calcule a soma da série dada. sumk=0^+infty(12)^k
Calcule a soma da série dada. sumk=1^+infty 1k(k+1)(k+2)(k+3)
Calcule a soma da série dada. sumk=0^+infty 1(4 k+1)(4 k+5)