Suponha que soluções da equação de Cauchy-Euler (linear, homogênea, de segunda ordem, com coeficientes variáveis):
sejam da forma
.
Mostre que se as raízes da equação característica forem reais e distintas,
, a solução geral da equação de Cauchy-Euler é dada por:
Mostre que se as raízes da equação característica forem reais e distintas,
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação de Cauchy-Euler do segundo grau, que é do tipo:
Estamos procurando soluções que se pareçam com
. A ideia é usar o conteúdo de equações diferenciais, especificamente equações de Cauchy-Euler, e a teoria de equações características para encontrar a solução geral quando as raízes são reais e diferentes.
Passo 2
Primeiro, vamos supor que a solução tem a forma
. Isso significa que a gente vai substituir essa forma na equação original para encontrar o valor de
.
Passo 3
Para substituir, precisamos derivar
em relação a
:
Essas são as derivadas primeira e segunda de
.
Passo 4
Agora, vamos substituir
,
e
na equação de Cauchy-Euler:
Simplificando cada termo:
Passo 5
Como todos os termos têm
, podemos fatorar:
Como
não é zero, o que temos dentro dos colchetes precisa ser zero:
Simplificando:
Passo 6
Essa é a equação característica da equação de Cauchy-Euler. Vamos chamá-la de:
Para encontrar as soluções
e
, resolvemos essa equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara:
Dado que as raízes são reais e distintas (
), podemos escrever a solução geral como uma combinação linear das soluções individuais.
Resposta
A solução geral da equação de Cauchy-Euler, quando as raízes da equação característica são reais e distintas, é:
onde
e
são constantes arbitrárias, e
e
são as raízes da equação característica.
Exercícios relacionados
Encontre a solução dos PVI abaixo. Esboce o gráfico da solução e descreva seu comportamente quando
.
Calcule a soma da série dada.
Suponha que soluções da equação de Cauchy-Euler (linear, homogênea, de segunda ordem, com coeficientes variáveis):
sejam da forma
.
Mostre que a equação característica desta equação tem a seguinte forma:
Mostre que a equação característica desta equação tem a seguinte forma:
Lembrete: