Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que a questão pede é calcular a soma da série . Isso envolve séries infinitas e, mais especificamente, uma série geométrica alternada. Para resolver, vamos precisar entender o que é uma série geométrica e como calcular sua soma quando ela converge.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os termos da nossa série. A série que temos é:
Isso significa que cada termo da série é dado por . Vamos ver como fica isso para alguns valores de :
Para :
Para :
Para :
E assim por diante.
Passo 3
Agora, vamos lembrar o que é uma série geométrica. Uma série geométrica tem a forma:
onde é o primeiro termo e é a razão comum entre os termos. A soma dessa série, quando , é dada por:
No nosso caso, podemos reescrever nossa série para se encaixar nessa forma. Observamos que:
(quando , o termo é 1)
(cada termo seguinte é multiplicado por )
Passo 4
Verificamos se a série converge. Para uma série geométrica, a condição é que o valor absoluto da razão seja menor que 1:
Como a condição é satisfeita, a série converge e podemos aplicar a fórmula da soma.