Calcule a soma da série:
sumk=0^infty(-1)^k 2^-k

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que a questão pede é calcular a soma da série . Isso envolve séries infinitas e, mais especificamente, uma série geométrica alternada. Para resolver, vamos precisar entender o que é uma série geométrica e como calcular sua soma quando ela converge.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os termos da nossa série. A série que temos é:
sumk=0^infty (-1)^k 2^-k
Isso significa que cada termo da série é dado por . Vamos ver como fica isso para alguns valores de :
  • Para :
  • Para :
  • Para :
  • E assim por diante.

Passo 3

Agora, vamos lembrar o que é uma série geométrica. Uma série geométrica tem a forma:
sumk=0^infty ar^k
onde S = a1 - r é o primeiro termo e é a razão comum entre os termos. A soma dessa série, quando , é dada por:
No nosso caso, podemos reescrever nossa série para se encaixar nessa forma. Observamos que:
  • (quando , o termo é 1)
  • (cada termo seguinte é multiplicado por )

Passo 4

Verificamos se a série converge. Para uma série geométrica, a condição é que o valor absoluto da razão seja menor que 1:
|r| = | -12 | = 12 < 1
Como a condição é satisfeita, a série converge e podemos aplicar a fórmula da soma.

Passo 5

Aplicando a fórmula da soma da série geométrica:
S = a1 - r = 11 - (-12) = 11 + 12 = 132 = 23

Resposta

A soma da série é .

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