Calcule a soma da série:
sumk=2^infty 2^k-1 3^1-k

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. A gente precisa calcular a soma da série infinita:
sumk=2^infty 2^k-1 cdot 3^1-k
Aqui, estamos lidando com séries geométricas, que são somas com termos que formam uma progressão geométrica. Para resolver isso, vamos precisar entender como simplificar os termos da série e aplicar a fórmula da soma de uma série geométrica.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar o termo geral da série:
2^k-1 cdot 3^1-k
Podemos reescrever isso dividindo as potências:
2^k-13^k-1 = (23)^k-1
Então, nossa série fica:
sumk=2^infty (23)^k-1

Passo 3

Agora, vamos mudar o índice da soma para facilitar a aplicação da fórmula da série geométrica. Vamos fazer uma substituição:
m = k - 1
Quando summ=1^infty (23)^m , , e quando vai para o infinito, também vai para o infinito. Então, a soma fica:

Passo 4

Lembre-se que uma série geométrica tem a forma:
summ=0^infty ar^m
onde a1 - r é o primeiro termo e é a razão comum. A soma dessa série, se , é dada por:
No nosso caso, o primeiro termo é e a razão é .

Passo 5

Vamos aplicar a fórmula da soma da série geométrica:
summ=1^infty (23)^m = 231 - 23 = 2313 = 2

Resposta

A soma da série é 2.

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