Sabe-se que a população de determinada cidade cresce a uma taxa proporcional ao número de habitantes existentes. Se, após 10 anos, a população triplica, e após 20 anos é de 150.000 habitantes, determine a população inicial.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma cidade cuja população cresce de forma proporcional ao número de habitantes. Isso significa que a população aumenta de maneira exponencial. Precisamos descobrir qual era a população inicial dessa cidade, sabendo que após 10 anos ela triplica e, após 20 anos, chega a 150.000 habitantes. Para isso, vamos usar fórmulas de crescimento exponencial e resolver passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que quando a população cresce proporcionalmente ao número de habitantes, a fórmula que descreve esse crescimento é:
Aqui:
  • é a população no tempo ,
  • é a população inicial,
  • é a taxa de crescimento,
  • é a base do logaritmo natural,
  • é o tempo em anos.

Passo 3

Sabemos que após 10 anos a população triplica. Então, podemos escrever:
Vamos simplificar isso pra encontrar .

Passo 4

Dividindo ambos os lados por :
Agora, vamos resolver para tirando o logaritmo natural dos dois lados:
Então:

Passo 5

Agora que temos , vamos usar a informação de que após 20 anos a população é de 150.000 habitantes:
Substituindo pela expressão que encontramos:

Passo 6

Simplificando a equação:
Lembrando que , temos:
Então:

Passo 7

Agora, é só resolver para :

Resposta

A população inicial da cidade era de aproximadamente 16.666,67 habitantes.

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