Sabe-se que a população de determinada cidade cresce a uma taxa proporcional ao número de habitantes existentes. Se, após 10 anos, a população triplica, e após 20 anos é de 150.000 habitantes, determine a população inicial.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma cidade cuja população cresce de forma proporcional ao número de habitantes. Isso significa que a população aumenta de maneira exponencial. Precisamos descobrir qual era a população inicial dessa cidade, sabendo que após 10 anos ela triplica e, após 20 anos, chega a 150.000 habitantes. Para isso, vamos usar fórmulas de crescimento exponencial e resolver passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos entender que quando a população cresce proporcionalmente ao número de habitantes, a fórmula que descreve esse crescimento é:
Aqui:
-
é a população no tempo , -
é a população inicial, -
é a taxa de crescimento, -
é a base do logaritmo natural, -
é o tempo em anos.
Passo 3
Sabemos que após 10 anos a população triplica. Então, podemos escrever:
Vamos simplificar isso pra encontrar
.
Passo 4
Dividindo ambos os lados por
:
Agora, vamos resolver para
tirando o logaritmo natural dos dois lados:
Então:
Passo 5
Agora que temos
, vamos usar a informação de que após 20 anos a população é de 150.000 habitantes:
Substituindo
pela expressão que encontramos:
Passo 6
Simplificando a equação:
Lembrando que
, temos:
Então:
Passo 7
Agora, é só resolver para
:
Resposta
A população inicial da cidade era de aproximadamente 16.666,67 habitantes.