Calcule sumi=1^n i(i-1)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular a soma . Isso está na área de álgebra, mais especificamente envolvendo somatórios e fórmulas de séries. Para resolver isso, vamos precisar entender como expandir a expressão e usar as fórmulas conhecidas para somar termos como e .

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro da soma. Temos i(i - 1) = i^2 - i , que dá:
sumi=1^n i(i - 1) = sumi=1^n (i^2 - i)
Então, a soma original fica:

Passo 3

Agora, vamos separar a soma dos dois termos:
sumi=1^n (i^2 - i) = sumi=1^n i^2 - sumi=1^n i
Isso facilita porque temos fórmulas conhecidas para cada uma dessas somas.

Passo 4

Vamos relembrar as fórmulas que vamos usar:
  1. Soma dos primeiros sumi=1^n i = n(n + 1)2 inteiros:
sumi=1^n i^2 = n(n + 1)(2n + 1)6
  1. Soma dos quadrados dos primeiros inteiros:

Passo 5

Substituindo essas fórmulas na nossa expressão:
sumi=1^n i(i - 1) = n(n + 1)(2n + 1)6 - n(n + 1)2
Agora, vamos simplificar:
= n(n + 1)6(2n + 1) - 3n(n + 1)6
= n(n + 1)(2n + 1 - 3)6
= n(n + 1)(2n - 2)6
= 2n(n + 1)(n - 1)6
= n(n + 1)(n - 1)3

Resposta

Portanto, a soma n(n + 1)(n - 1)3 é igual a:

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