Mostre que, se
:
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente precisa provar que, para números inteiros
,
e
onde
, a soma das combinações
é igual a
.
Aqui, estamos lidando com combinações e identidades combinatórias. Vamos usar propriedades de binômios e manipulações de somas envolvendo coeficientes binomiais para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa
. Esse termo representa o número de maneiras de escolher
itens de um total de
, e depois escolher
itens desses
. Podemos reescrever isso usando uma propriedade das combinações:
Isso porque primeiro escolhemos os
itens e depois os
restantes.
Passo 3
Agora, substituímos essa expressão na soma original:
Note que, mudando o índice da soma para
, temos:
Como
para
ou
, a soma simplifica para:
Passo 4
A soma das combinações de
até
de
é uma identidade conhecida que vale
. Ou seja:
Isso vem do fato de que a soma dos coeficientes binomiais para um dado
é
, já que representa todas as possíveis combinações.
Passo 5
Substituindo de volta na expressão original, temos:
Resposta
Portanto, mostramos que: