Mostre que: n^2=n!(1 /(n-1)!+1 /(n-2)!)

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a gente tem aqui. O exercício pede pra gente mostrar que . Isso envolve conceitos de fatorial e álgebra básica. Para resolver, vamos precisar entender como funciona o fatorial e fazer umas contas com ele.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é fatorial. O fatorial de um número inteiro positivo n! = n times (n-1) times (n-2) times dots times 1 , representado por , é o produto de todos os números inteiros de 1 até . Ou seja:
Por exemplo, .

Passo 3

Agora, vamos analisar a expressão que queremos provar:
n^2 = n! ( 1(n-1)! + 1(n-2)! )
Vamos simplificar o lado direito da equação passo a passo.

Passo 4

Primeiro, vamos dividir n!(n-1)! = n por :
Isso porque , então ao dividir por , o cancela, restando apenas .

Passo 5

Agora, vamos dividir n!(n-2)! = n times (n-1) por :
Aqui, . Ao dividir por , fica .

Passo 6

Substituindo essas divisões na expressão original:
n! ( 1(n-1)! + 1(n-2)! ) = n + n times (n-1)
Simplificando a soma:
n + n(n-1) = n + n^2 - n = n^2

Resposta

Concluímos que:
n^2 = n! ( 1(n-1)! + 1(n-2)! )

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