Prove que, para n>r >= 0, temos (r+1)binomnr+1=(n-r)binomnr.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício juntos! A gente precisa provar que, para números inteiros onde (r+1)binomnr+1 = (n - r)binomnr , a igualdade
é verdadeira. O conteúdo aqui é de combinatória, especificamente envolvendo coeficientes binomiais. A gente vai precisar entender como os coeficientes binomiais funcionam e usar umas propriedades básicas deles para resolver essa prova.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o coeficiente binomial binomnk = n!k!(n - k)! . Ele representa o número de maneiras de escolher elementos de um conjunto com elementos, sem se importar com a ordem. A fórmula para calcular isso é:
Onde (fatorial de ) é o produto de todos os números inteiros de 1 até .

Passo 3

Agora, vamos aplicar essa fórmula para binomnr+1 = n!(r+1)!(n - (r+1))! = n!(r+1)!(n - r - 1)! e binomnr = n!r!(n - r)! :

Passo 4

Nosso objetivo é mostrar que:
(r+1)binomnr+1 = (n - r)binomnr
Vamos começar multiplicando ambos os lados pelos coeficientes binomiais que acabamos de calcular.
Primeiro, calculando o lado esquerdo:
(r+1)binomnr+1 = (r+1) cdot n!(r+1)!(n - r - 1)! = n!r!(n - r - 1)!
Note que cancela com parte do fatorial no denominador.

Passo 5

Agora, vamos calcular o lado direito:
(n - r)binomnr = (n - r) cdot n!r!(n - r)! = n!(n - r)r!(n - r)!
Podemos simplificar n!(n - r)r!(n - r)! = n!r!(n - r - 1)! com parte do fatorial no denominador:

Passo 6

Agora, observamos que ambos os lados, após a simplificação, ficaram iguais:
n!r!(n - r - 1)! = n!r!(n - r - 1)!
Isso mostra que:
(r+1)binomnr+1 = (n - r)binomnr

Resposta

Propriedade comprovada! Para (r+1)binomnr+1 = (n - r)binomnr ,

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