Prove que, para
, temos
.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício juntos! A gente precisa provar que, para números inteiros onde
, a igualdade
é verdadeira. O conteúdo aqui é de combinatória, especificamente envolvendo coeficientes binomiais. A gente vai precisar entender como os coeficientes binomiais funcionam e usar umas propriedades básicas deles para resolver essa prova.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o coeficiente binomial
. Ele representa o número de maneiras de escolher
elementos de um conjunto com
elementos, sem se importar com a ordem. A fórmula para calcular isso é:
Onde
(fatorial de
) é o produto de todos os números inteiros de 1 até
.
Passo 3
Agora, vamos aplicar essa fórmula para
e
:
Passo 4
Nosso objetivo é mostrar que:
Vamos começar multiplicando ambos os lados pelos coeficientes binomiais que acabamos de calcular.
Primeiro, calculando o lado esquerdo:
Note que
cancela com parte do fatorial no denominador.
Passo 5
Agora, vamos calcular o lado direito:
Podemos simplificar
com parte do fatorial no denominador:
Passo 6
Agora, observamos que ambos os lados, após a simplificação, ficaram iguais:
Isso mostra que:
Resposta
Propriedade comprovada! Para
,