Calcule a taxa de deformação por cisalhamento no plano
. Calcule o vetor vorticidade e diga se o escoamento é ou não irrotacional.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você me pediu para calcular a taxa de deformação por cisalhamento no plano
, calcular o vetor vorticidade e determinar se o escoamento é irrotacional. Para isso, vamos usar conceitos de mecânica dos fluidos, especificamente sobre deformação de fluidos e vorticidade. Vamos precisar das equações de derivadas parciais das componentes da velocidade em relação às coordenadas espaciais.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a taxa de deformação por cisalhamento no plano
. Ela é representada por
e indica como o fluido está deformando no plano
. A fórmula para calcular essa taxa é:
Aqui,
e
são as componentes da velocidade do fluido nas direções
e
, respectivamente.
Passo 3
Agora, vamos calcular o vetor vorticidade
. A vorticidade mede a rotação local do fluido e é definida como o rotacional do campo de velocidade:
Em coordenadas cartesianas, isso se expande para:
No caso de um escoamento bidimensional no plano
, assumimos que
e que todas as derivadas em relação a
são nulas. Assim, o vetor vorticidade simplifica para:
Portanto, a vorticidade tem apenas componente na direção
, dada por:
Passo 4
Para determinar se o escoamento é irrotacional, verificamos se a vorticidade é zero em todas as direções. No nosso caso bidimensional, isso significa que
deve ser igual a zero:
Se
for zero, o escoamento é considerado irrotacional. Caso contrário, o escoamento possui rotação.
Passo 5
Resumindo os cálculos:
- Calculamos a taxa de deformação por cisalhamento no plano
usando:
- Calculamos a vorticidade:
- Verificamos se
para determinar se o escoamento é irrotacional.
Resposta
A taxa de deformação por cisalhamento no plano
é
. O vetor vorticidade é
, onde
. Se
, o escoamento é irrotacional; caso contrário, não é irrotacional.
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e
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e
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e
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e use o resultado para resolver para
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