Calcule a taxa de deformação por cisalhamento no plano x y. Calcule o vetor vorticidade e diga se o escoamento é ou não irrotacional.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me pediu para calcular a taxa de deformação por cisalhamento no plano , calcular o vetor vorticidade e determinar se o escoamento é irrotacional. Para isso, vamos usar conceitos de mecânica dos fluidos, especificamente sobre deformação de fluidos e vorticidade. Vamos precisar das equações de derivadas parciais das componentes da velocidade em relação às coordenadas espaciais.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a taxa de deformação por cisalhamento no plano Dxy = 12 ( partial upartial y + partial vpartial x ) . Ela é representada por e indica como o fluido está deformando no plano . A fórmula para calcular essa taxa é:
Aqui, e são as componentes da velocidade do fluido nas direções e , respectivamente.

Passo 3

Agora, vamos calcular o vetor vorticidade omega = nabla times v . A vorticidade mede a rotação local do fluido e é definida como o rotacional do campo de velocidade:
omega = ( partial wpartial y - partial vpartial z ) i + ( partial upartial z - partial wpartial x ) j + ( partial vpartial x - partial upartial y ) k
Em coordenadas cartesianas, isso se expande para:
omega = ( 0 ) i + ( 0 ) j + ( partial vpartial x - partial upartial y ) k
No caso de um escoamento bidimensional no plano omegaz = partial vpartial x - partial upartial y , assumimos que e que todas as derivadas em relação a são nulas. Assim, o vetor vorticidade simplifica para:
Portanto, a vorticidade tem apenas componente na direção , dada por:

Passo 4

Para determinar se o escoamento é irrotacional, verificamos se a vorticidade é zero em todas as direções. No nosso caso bidimensional, isso significa que omegaz = 0 deve ser igual a zero:
Se for zero, o escoamento é considerado irrotacional. Caso contrário, o escoamento possui rotação.

Passo 5

Resumindo os cálculos:
  1. Calculamos a taxa de deformação por cisalhamento no plano Dxy = 12 ( partial upartial y + partial vpartial x ) usando:
omegaz = partial vpartial x - partial upartial y
  1. Calculamos a vorticidade:
  1. Verificamos se para determinar se o escoamento é irrotacional.

Resposta

A taxa de deformação por cisalhamento no plano é . O vetor vorticidade é , onde . Se , o escoamento é irrotacional; caso contrário, não é irrotacional.

Exercícios relacionados