Calcule a taxa de deformação por cisalhamento no plano . Calcule o vetor vorticidade e diga se o escoamento é ou não irrotacional.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me pediu para calcular a taxa de deformação por cisalhamento no plano , calcular o vetor vorticidade e determinar se o escoamento é irrotacional. Para isso, vamos usar conceitos de mecânica dos fluidos, especificamente sobre deformação de fluidos e vorticidade. Vamos precisar das equações de derivadas parciais das componentes da velocidade em relação às coordenadas espaciais.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a taxa de deformação por cisalhamento no plano . Ela é representada por e indica como o fluido está deformando no plano . A fórmula para calcular essa taxa é:
Aqui, e são as componentes da velocidade do fluido nas direções e , respectivamente.

Passo 3

Agora, vamos calcular o vetor vorticidade . A vorticidade mede a rotação local do fluido e é definida como o rotacional do campo de velocidade:
Em coordenadas cartesianas, isso se expande para:
No caso de um escoamento bidimensional no plano , assumimos que e que todas as derivadas em relação a são nulas. Assim, o vetor vorticidade simplifica para:
Portanto, a vorticidade tem apenas componente na direção , dada por:

Passo 4

Para determinar se o escoamento é irrotacional, verificamos se a vorticidade é zero em todas as direções. No nosso caso bidimensional, isso significa que deve ser igual a zero:
Se for zero, o escoamento é considerado irrotacional. Caso contrário, o escoamento possui rotação.

Passo 5

Resumindo os cálculos:
  1. Calculamos a taxa de deformação por cisalhamento no plano usando:
  1. Calculamos a vorticidade:
  1. Verificamos se para determinar se o escoamento é irrotacional.

Resposta

A taxa de deformação por cisalhamento no plano é . O vetor vorticidade é , onde . Se , o escoamento é irrotacional; caso contrário, não é irrotacional.

Exercícios relacionados

Calcule o vetor aceleração em termos dos vetores unitários.
Explique como é o funcionamento de um medidor de pressão do tipo strain gage.
Gere uma expressão analítica para as componentes e da posição da partícula de fluido em qualquer instante arbitrário em termos de e , as componentes da sua posição no instante . (Sugestão: sabemos que seguindo uma partícula de fluido. Substitua e e resolva as equações diferenciais. Resolva primeiro para e use o resultado para resolver para ).
Determine a taxa de mudança da temperatura de uma partícula de fluido localizada em e em