Determine a taxa de mudança da temperatura de uma partícula de fluido localizada em e em

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me pediu para determinar a taxa de mudança da temperatura de uma partícula de fluido que está localizada em no instante de tempo segundos. Isso envolve conceitos de cinemática térmica, que é parte da termodinâmica. Para resolver isso, vamos precisar usar derivadas parciais, que nos ajudam a entender como a temperatura muda em relação ao tempo e à posição.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender qual é a função que descreve a temperatura em termos de posição e tempo . Geralmente, essa função é dada por uma equação de condução de calor, como a equação de difusão térmica:
Onde:
  • é a taxa de mudança da temperatura em relação ao tempo.
  • é a difusividade térmica do material.
  • é a segunda derivada da temperatura em relação à posição.

Passo 3

Nosso objetivo é encontrar em e segundos. Para isso, precisamos conhecer a distribuição de temperatura . Suponha que a solução geral da equação de difusão térmica seja conhecida e dada por:
Onde:
  • é a temperatura inicial.
  • é uma constante relacionada à frequência espacial.

Passo 4

Agora, vamos calcular a derivada parcial de em relação ao tempo :
Como não depende de , a derivada fica:

Passo 5

Agora, substituímos e segundos na expressão da derivada:
Sabemos que , então:

Passo 6

Para obter um valor numérico, precisaríamos dos valores específicos de , e . Suponhamos que eles sejam dados ou já calculados previamente. Com esses valores, basta substituir na equação acima para encontrar a taxa de mudança da temperatura naquele ponto e instante específicos.

Resposta

A taxa de mudança da temperatura da partícula em e segundos é:

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Gere uma expressão analítica para as componentes e da posição da partícula de fluido em qualquer instante arbitrário em termos de e , as componentes da sua posição no instante . (Sugestão: sabemos que seguindo uma partícula de fluido. Substitua e e resolva as equações diferenciais. Resolva primeiro para e use o resultado para resolver para ).
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