Determine a taxa de mudança da temperatura de uma partícula de fluido localizada em e em
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você me pediu para determinar a taxa de mudança da temperatura de uma partícula de fluido que está localizada em no instante de tempo segundos. Isso envolve conceitos de cinemática térmica, que é parte da termodinâmica. Para resolver isso, vamos precisar usar derivadas parciais, que nos ajudam a entender como a temperatura muda em relação ao tempo e à posição.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender qual é a função que descreve a temperatura em termos de posição e tempo . Geralmente, essa função é dada por uma equação de condução de calor, como a equação de difusão térmica:
Onde:
é a taxa de mudança da temperatura em relação ao tempo.
é a difusividade térmica do material.
é a segunda derivada da temperatura em relação à posição.
Passo 3
Nosso objetivo é encontrar em e segundos. Para isso, precisamos conhecer a distribuição de temperatura . Suponha que a solução geral da equação de difusão térmica seja conhecida e dada por:
Onde:
é a temperatura inicial.
é uma constante relacionada à frequência espacial.
Passo 4
Agora, vamos calcular a derivada parcial de em relação ao tempo :
Como não depende de , a derivada fica:
Passo 5
Agora, substituímos e segundos na expressão da derivada:
Sabemos que , então:
Passo 6
Para obter um valor numérico, precisaríamos dos valores específicos de , e . Suponhamos que eles sejam dados ou já calculados previamente. Com esses valores, basta substituir na equação acima para encontrar a taxa de mudança da temperatura naquele ponto e instante específicos.
Resposta
A taxa de mudança da temperatura da partícula em e segundos é: