Determine a taxa de mudança da temperatura de uma partícula de fluido localizada em y=0 e em t=20 s

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me pediu para determinar a taxa de mudança da temperatura de uma partícula de fluido que está localizada em no instante de tempo segundos. Isso envolve conceitos de cinemática térmica, que é parte da termodinâmica. Para resolver isso, vamos precisar usar derivadas parciais, que nos ajudam a entender como a temperatura muda em relação ao tempo e à posição.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender qual é a função que descreve a temperatura partial Tpartial t = alpha partial^2 Tpartial y^2 em termos de posição e tempo . Geralmente, essa função é dada por uma equação de condução de calor, como a equação de difusão térmica:
Onde:
  • é a taxa de mudança da temperatura em relação ao tempo.
  • é a difusividade térmica do material.
  • é a segunda derivada da temperatura em relação à posição.

Passo 3

Nosso objetivo é encontrar T(y, t) = T0 e^-lambda^2 alpha t cos(lambda y) em e segundos. Para isso, precisamos conhecer a distribuição de temperatura . Suponha que a solução geral da equação de difusão térmica seja conhecida e dada por:
Onde:
  • é a temperatura inicial.
  • é uma constante relacionada à frequência espacial.

Passo 4

Agora, vamos calcular a derivada parcial de partial Tpartial t = partialpartial t ( T0 e^-lambda^2 alpha t cos(lambda y) ) em relação ao tempo partial Tpartial t = -T0 lambda^2 alpha e^-lambda^2 alpha t cos(lambda y) :
Como não depende de , a derivada fica:

Passo 5

Agora, substituímos partial Tpartial tg|y=0, t=20 = -T0 lambda^2 alpha e^-lambda^2 alpha times 20 cos(0) e partial Tpartial tg|y=0, t=20 = -T0 lambda^2 alpha e^-20 lambda^2 alpha segundos na expressão da derivada:
Sabemos que , então:

Passo 6

Para obter um valor numérico, precisaríamos dos valores específicos de , e . Suponhamos que eles sejam dados ou já calculados previamente. Com esses valores, basta substituir na equação acima para encontrar a taxa de mudança da temperatura naquele ponto e instante específicos.

Resposta

A taxa de mudança da temperatura da partícula em partial Tpartial tg|y=0, t=20 = -T0 lambda^2 alpha e^-20 lambda^2 alpha e segundos é:

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