Gere uma expressão analítica para as componentes x e y da posição da partícula de fluido em qualquer instante t arbitrário em termos de x0 e y0, as componentes da sua posição no instante t=0. (Sugestão: sabemos que u=d x / d t(v=d y / d t) seguindo uma partícula de fluido. Substitua u e v e resolva as equações diferenciais. Resolva primeiro para y e use o resultado para resolver para x ).

Passo 1

Beleza! Vamos resolver esse exercício juntos. A questão pede para encontramos expressões analíticas para as componentes e da posição de uma partícula de fluido em qualquer instante , usando as posições iniciais e no tempo . A matéria envolvida aqui é Dinâmica de Fluidos, especificamente o seguimento de partículas de fluido. Para resolver, vamos precisar trabalhar com equações diferenciais, já que temos as velocidades e como derivadas das posições em relação ao tempo.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que u = dxdt e v = dydt e são as componentes da velocidade da partícula de fluido nas direções e , respectivamente. Isso significa que:
Essas são as equações diferenciais que precisamos resolver para encontrar e .

Passo 3

Vamos começar resolvendo para v = ay . Suponha que a velocidade na direção dydt = ay seja uma função de apenas, por exemplo:
onde é uma constante. Assim, temos:
Essa é uma equação diferencial linear de primeira ordem.

Passo 4

Para resolver essa equação, podemos separar as variáveis. Vamos reorganizar a equação:
dyy = a,dt
Agora, integramos ambos os lados:
integral 1y , dy = integral a , dt
ln|y| = at + C
onde é a constante de integração.

Passo 5

Resolvendo para y = e^at + C = e^C cdot e^at , temos:
y(t) = y0 e^at
Podemos absorver na constante, chamando-a de (posição inicial em ):

Passo 6

Agora que temos u = by , vamos usar essa informação para resolver para dxdt = b y(t) = b y0 e^at . Suponha que a velocidade na direção dependa de , por exemplo:
onde é outra constante. Então:

Passo 7

Para encontrar x(t) = integral b y0 e^at , dt , integramos:
x(t) = b y0 integral e^at , dt
x(t) = b y0 cdot 1a e^at + C
onde é a constante de integração.

Passo 8

Aplicando a condição inicial x0 = b y0a e^0 + C Rightarrow C = x0 - b y0a :
x(t) = b y0a e^at + x0 - b y0a
Então, a expressão para x(t) = x0 + b y0a (e^at - 1) fica:

Resposta

As componentes da posição da partícula de fluido em qualquer instante y(t) = y0 e^at são dadas por:
x(t) = x0 + b y0a ( e^at - 1 )
e

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