Gere uma expressão analítica para as componentes
e
da posição da partícula de fluido em qualquer instante
arbitrário em termos de
e
, as componentes da sua posição no instante
. (Sugestão: sabemos que
seguindo uma partícula de fluido. Substitua
e
e resolva as equações diferenciais. Resolva primeiro para
e use o resultado para resolver para
).
Passo 1
Beleza! Vamos resolver esse exercício juntos. A questão pede para encontramos expressões analíticas para as componentes
e
da posição de uma partícula de fluido em qualquer instante
, usando as posições iniciais
e
no tempo
. A matéria envolvida aqui é Dinâmica de Fluidos, especificamente o seguimento de partículas de fluido. Para resolver, vamos precisar trabalhar com equações diferenciais, já que temos as velocidades
e
como derivadas das posições em relação ao tempo.
Passo 2
Primeiro, vamos entender que
e
são as componentes da velocidade da partícula de fluido nas direções
e
, respectivamente. Isso significa que:
Essas são as equações diferenciais que precisamos resolver para encontrar
e
.
Passo 3
Vamos começar resolvendo para
. Suponha que a velocidade na direção
seja uma função de
apenas, por exemplo:
onde
é uma constante. Assim, temos:
Essa é uma equação diferencial linear de primeira ordem.
Passo 4
Para resolver essa equação, podemos separar as variáveis. Vamos reorganizar a equação:
Agora, integramos ambos os lados:
onde
é a constante de integração.
Passo 5
Resolvendo para
, temos:
Podemos absorver
na constante, chamando-a de
(posição inicial em
):
Passo 6
Agora que temos
, vamos usar essa informação para resolver para
. Suponha que a velocidade na direção
dependa de
, por exemplo:
onde
é outra constante. Então:
Passo 7
Para encontrar
, integramos:
onde
é a constante de integração.
Passo 8
Aplicando a condição inicial
:
Então, a expressão para
fica:
Resposta
As componentes da posição da partícula de fluido em qualquer instante
são dadas por:
e
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