Gere uma expressão analítica para as componentes e da posição da partícula de fluido em qualquer instante arbitrário em termos de e , as componentes da sua posição no instante . (Sugestão: sabemos que seguindo uma partícula de fluido. Substitua e e resolva as equações diferenciais. Resolva primeiro para e use o resultado para resolver para ).

Passo 1

Beleza! Vamos resolver esse exercício juntos. A questão pede para encontramos expressões analíticas para as componentes e da posição de uma partícula de fluido em qualquer instante , usando as posições iniciais e no tempo . A matéria envolvida aqui é Dinâmica de Fluidos, especificamente o seguimento de partículas de fluido. Para resolver, vamos precisar trabalhar com equações diferenciais, já que temos as velocidades e como derivadas das posições em relação ao tempo.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que e são as componentes da velocidade da partícula de fluido nas direções e , respectivamente. Isso significa que:
Essas são as equações diferenciais que precisamos resolver para encontrar e .

Passo 3

Vamos começar resolvendo para . Suponha que a velocidade na direção seja uma função de apenas, por exemplo:
onde é uma constante. Assim, temos:
Essa é uma equação diferencial linear de primeira ordem.

Passo 4

Para resolver essa equação, podemos separar as variáveis. Vamos reorganizar a equação:
Agora, integramos ambos os lados:
onde é a constante de integração.

Passo 5

Resolvendo para , temos:
Podemos absorver na constante, chamando-a de (posição inicial em ):

Passo 6

Agora que temos , vamos usar essa informação para resolver para . Suponha que a velocidade na direção dependa de , por exemplo:
onde é outra constante. Então:

Passo 7

Para encontrar , integramos:
onde é a constante de integração.

Passo 8

Aplicando a condição inicial :
Então, a expressão para fica:

Resposta

As componentes da posição da partícula de fluido em qualquer instante são dadas por:
e

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