1^a Calcule a taxa na qual o volume de um cilindro circular reto está variando se sua a altura está diminuindo à razão de 2 dm/s e o seu raio da base aumentando 2,5 dm/s, quando a altura mede 8 dm e o raio da base 7 dm . Neste momento o volume aumenta ou diminui?

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos um cilindro circular reto cujo volume está mudando. A altura está diminuindo a uma taxa de e o raio da base está aumentando a uma taxa de . Queremos descobrir a que taxa o volume está variando quando a altura é e o raio é . Para isso, vamos precisar usar cálculo, especificamente derivadas relacionadas ao tempo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a fórmula do volume ( ) de um cilindro:
Aqui, é o raio da base e é a altura do cilindro.

Passo 3

Queremos encontrar a taxa de variação do volume em relação ao tempo, ou seja, . Para isso, vamos derivar a fórmula do volume em relação ao tempo usando a regra da derivada:
Essa equação nos mostra como a mudança no raio e na altura afeta a mudança no volume.

Passo 4

Agora, vamos substituir os valores que conhecemos:
  • (negativo porque a altura está diminuindo)
Substituindo na equação:

Passo 5

Vamos calcular cada parte separadamente:
Primeiro, :
Segundo, :

Passo 6

Agora, somamos as duas partes:
Então,

Passo 7

Calculando o valor numérico:
Aproximando :

Resposta

A taxa de variação do volume do cilindro é aproximadamente e, como o valor é positivo, o volume está aumentando nesse momento.

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