Calcule a taxa na qual o volume de um cilindro circular reto está variando se sua a altura está diminuindo à razão de
e o seu raio da base aumentando
, quando a altura mede 8 dm e o raio da base 7 dm . Neste momento o volume aumenta ou diminui?
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos um cilindro circular reto cujo volume está mudando. A altura está diminuindo a uma taxa de
e o raio da base está aumentando a uma taxa de
. Queremos descobrir a que taxa o volume está variando quando a altura é
e o raio é
. Para isso, vamos precisar usar cálculo, especificamente derivadas relacionadas ao tempo.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a fórmula do volume (
) de um cilindro:
Aqui,
é o raio da base e
é a altura do cilindro.
Passo 3
Queremos encontrar a taxa de variação do volume em relação ao tempo, ou seja,
. Para isso, vamos derivar a fórmula do volume em relação ao tempo usando a regra da derivada:
Essa equação nos mostra como a mudança no raio e na altura afeta a mudança no volume.
Passo 4
Agora, vamos substituir os valores que conhecemos:
-
-
-
-
(negativo porque a altura está diminuindo)
Substituindo na equação:
Passo 5
Vamos calcular cada parte separadamente:
Primeiro,
:
Segundo,
:
Passo 6
Agora, somamos as duas partes:
Então,
Passo 7
Calculando o valor numérico:
Aproximando
:
Resposta
A taxa de variação do volume do cilindro é aproximadamente
e, como o valor é positivo, o volume está aumentando nesse momento.