Sabe-se que a num paralelepípedo (caixa retangular), de base quadrada, a aresta da base cresce a taxa de 3 m/s e a altura diminui a taxa de 6 m/s. Quando a aresta da base mede 5 m e a altura 6 m , o volume desse paralelepípedo cresce ou decresce? A que taxa?

Passo 1

Vamos lá! Temos um paralelepípedo, que é essencialmente uma caixa retangular com a base quadrada. A aresta da base está aumentando a uma taxa de e a altura está diminuindo a uma taxa de . A pergunta é: quando a aresta da base tem 5 metros e a altura 6 metros, o volume dessa caixa está aumentando ou diminuindo? E, se estiver mudando, qual é a taxa dessa mudança?
Para resolver isso, vamos usar o conceito de taxas relacionadas, que faz parte do cálculo diferencial. Precisamos relacionar as taxas de variação das dimensões (aresta da base e altura) com a taxa de variação do volume.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como calcular o volume de um paralelepípedo com base quadrada. Se a aresta da base é e a altura é , o volume é dado por:
Agora, para encontrar como o volume está mudando no tempo, precisamos calcular a derivada de em relação ao tempo :
Usando a regra do produto e a regra da cadeia, temos:

Passo 3

Vamos identificar o que cada termo representa:
  • (aresta da base)
  • (taxa de aumento da aresta da base)
  • (altura)
  • (taxa de diminuição da altura; é negativa porque a altura está diminuindo)

Passo 4

Agora, substituímos esses valores na equação da derivada do volume:
Calculando cada parte:
Somando os dois resultados:

Resposta

O volume do paralelepípedo está aumentando a uma taxa de quando a aresta da base mede 5 metros e a altura 6 metros.

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