Sabe-se que a num paralelepípedo (caixa retangular), de base quadrada, a aresta da base cresce a taxa de
e a altura diminui a taxa de
. Quando a aresta da base mede 5 m e a altura 6 m , o volume desse paralelepípedo cresce ou decresce? A que taxa?
Passo 1
Vamos lá! Temos um paralelepípedo, que é essencialmente uma caixa retangular com a base quadrada. A aresta da base está aumentando a uma taxa de
e a altura está diminuindo a uma taxa de
. A pergunta é: quando a aresta da base tem 5 metros e a altura 6 metros, o volume dessa caixa está aumentando ou diminuindo? E, se estiver mudando, qual é a taxa dessa mudança?
Para resolver isso, vamos usar o conceito de taxas relacionadas, que faz parte do cálculo diferencial. Precisamos relacionar as taxas de variação das dimensões (aresta da base e altura) com a taxa de variação do volume.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como calcular o volume de um paralelepípedo com base quadrada. Se a aresta da base é
e a altura é
, o volume
é dado por:
Agora, para encontrar como o volume está mudando no tempo, precisamos calcular a derivada de
em relação ao tempo
:
Usando a regra do produto e a regra da cadeia, temos:
Passo 3
Vamos identificar o que cada termo representa:
-
(aresta da base) -
(taxa de aumento da aresta da base) -
(altura) -
(taxa de diminuição da altura; é negativa porque a altura está diminuindo)
Passo 4
Agora, substituímos esses valores na equação da derivada do volume:
Calculando cada parte:
Somando os dois resultados:
Resposta
O volume do paralelepípedo está aumentando a uma taxa de
quando a aresta da base mede 5 metros e a altura 6 metros.