Sabe-se que a num paralelepípedo (caixa retangular), de base quadrada, a aresta da base cresce a taxa de e a altura diminui a taxa de . Quando a aresta da base mede 5 m e a altura 6 m , o volume desse paralelepípedo cresce ou decresce? A que taxa?

Passo 1

Vamos lá! Temos um paralelepípedo, que é essencialmente uma caixa retangular com a base quadrada. A aresta da base está aumentando a uma taxa de e a altura está diminuindo a uma taxa de . A pergunta é: quando a aresta da base tem 5 metros e a altura 6 metros, o volume dessa caixa está aumentando ou diminuindo? E, se estiver mudando, qual é a taxa dessa mudança?
Para resolver isso, vamos usar o conceito de taxas relacionadas, que faz parte do cálculo diferencial. Precisamos relacionar as taxas de variação das dimensões (aresta da base e altura) com a taxa de variação do volume.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como calcular o volume de um paralelepípedo com base quadrada. Se a aresta da base é e a altura é , o volume é dado por:
Agora, para encontrar como o volume está mudando no tempo, precisamos calcular a derivada de em relação ao tempo :
Usando a regra do produto e a regra da cadeia, temos:

Passo 3

Vamos identificar o que cada termo representa:
  • (aresta da base)
  • (taxa de aumento da aresta da base)
  • (altura)
  • (taxa de diminuição da altura; é negativa porque a altura está diminuindo)

Passo 4

Agora, substituímos esses valores na equação da derivada do volume:
Calculando cada parte:
Somando os dois resultados:

Resposta

O volume do paralelepípedo está aumentando a uma taxa de quando a aresta da base mede 5 metros e a altura 6 metros.

Exercícios relacionados

Calcule os limites a seguir aplicando os limites fundamentais.
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
j)
k)
l)
m)
n)
o)
Determine, se existirem, os pontos onde as seguintes funções não são contínuas.
a)
b)
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