Um triângulo retângulo tem seus catetos variando, um cresce a uma taxa de e outro decresce a taxa de . Encontre a taxa em que a área deste triângulo está variando quando os dois catetos medem 3 m . Neste instante a área aumenta ou diminui?

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos um triângulo retângulo onde os catetos estão mudando de tamanho ao longo do tempo: um está crescendo a uma taxa de 2 metros por minuto e o outro está diminuindo a uma taxa de 1 metro por minuto. Queremos descobrir como a área desse triângulo está mudando quando ambos os catetos medem 3 metros. Também precisamos saber se a área está aumentando ou diminuindo nesse momento. Para resolver isso, vamos usar conceitos de derivadas relacionadas do cálculo.

Passo 2

Primeiro, precisamos lembrar como calcular a área de um triângulo retângulo. A fórmula é:
onde:
  • é a área,
  • e são os comprimentos dos catetos do triângulo.

Passo 3

Como os catetos estão mudando com o tempo, a área também vai mudar. Para encontrar a taxa de variação da área em relação ao tempo, vamos derivar a fórmula da área em relação ao tempo :
Aqui, é a taxa de variação do cateto e é a taxa de variação do cateto .

Passo 4

Agora, vamos substituir os valores que conhecemos no momento em que os catetos medem 3 metros:
  • m
  • m
  • m/min (o cateto está crescendo)
  • m/min (o cateto está diminuindo)

Passo 5

Substituindo esses valores na equação da derivada:

Resposta

A área do triângulo está aumentando a uma taxa de 1,5 m²/min quando ambos os catetos medem 3 metros.

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c)
d)
e)
f)