Um triângulo retângulo tem seus catetos variando, um cresce a uma taxa de
e outro decresce a taxa de
. Encontre a taxa em que a área deste triângulo está variando quando os dois catetos medem 3 m . Neste instante a área aumenta ou diminui?
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos um triângulo retângulo onde os catetos estão mudando de tamanho ao longo do tempo: um está crescendo a uma taxa de 2 metros por minuto e o outro está diminuindo a uma taxa de 1 metro por minuto. Queremos descobrir como a área desse triângulo está mudando quando ambos os catetos medem 3 metros. Também precisamos saber se a área está aumentando ou diminuindo nesse momento. Para resolver isso, vamos usar conceitos de derivadas relacionadas do cálculo.
Passo 2
Primeiro, precisamos lembrar como calcular a área de um triângulo retângulo. A fórmula é:
onde:
-
é a área, -
e são os comprimentos dos catetos do triângulo.
Passo 3
Como os catetos estão mudando com o tempo, a área também vai mudar. Para encontrar a taxa de variação da área em relação ao tempo, vamos derivar a fórmula da área em relação ao tempo
:
Aqui,
é a taxa de variação do cateto
e
é a taxa de variação do cateto
.
Passo 4
Agora, vamos substituir os valores que conhecemos no momento em que os catetos medem 3 metros:
-
m -
m -
m/min (o cateto está crescendo) -
m/min (o cateto está diminuindo)
Passo 5
Substituindo esses valores na equação da derivada:
Resposta
A área do triângulo está aumentando a uma taxa de 1,5 m²/min quando ambos os catetos medem 3 metros.
Exercícios relacionados
Sabe-se que a num paralelepípedo (caixa retangular), de base quadrada, a aresta da base cresce a taxa de
e a altura diminui a taxa de
. Quando a aresta da base mede 5 m e a altura 6 m , o volume desse paralelepípedo cresce ou decresce? A que taxa?
Água está entrando em um reservatório de concreto cônico a uma taxa de
. Tal reservatório tem vértice para baixo, com diâmetro da
Use aproximação linear ou diferenciais, para estimar o valor de:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
a)
b)
c)
d)
e)
f)