Calcule E[X] se X tem uma função de densidade dada por
a)
f(x)= 14 x e^-x / 2 & se x>0 0 & caso contrário á
b)
f(x)= c(1-x^2) & se -1á
c)
f(x)= 5x^2 & se x>5 0 & se x <= 5

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos que calcular a esperança matemática, ou seja, E[X], para três funções de densidade diferentes. Para resolver isso, vamos precisar lembrar que a esperança de uma variável aleatória contínua é dada pela integral de x vezes a função de densidade f(x) sobre todo o domínio de x. Vamos resolver cada parte passo a passo.

Passo 2

Parte a)
Primeiro, vamos focar na função de densidade dada:
f(x)= 14 x e^-x / 2 & se x>0 0 & caso contrário á
Aqui, f(x) é uma função válida porque é não negativa e a integral dela de -infty a +infty é 1. Para encontrar E[X], usamos a fórmula:
E[X] = integral-infty^+infty x f(x) dx
Mas como f(x) = 0 para x <= 0, podemos simplificar a integral para:
E[X] = integral0^+infty x cdot 14 x e^-x / 2 dx = 14 integral0^+infty x^2 e^-x / 2 dx

Passo 3

Para resolver a integral integral0^+infty x^2 e^-x / 2 dx, reconhecemos que é uma integral de uma função do tipo x^n e^-lambda x, cuja solução é dada por:
integral0^+infty x^n e^-lambda x dx = n!lambda^n+1
Aqui, n=2 e lambda = 12. Então, temos:
integral0^+infty x^2 e^-x / 2 dx = 2!(12)^3 = 218 = 16

Passo 4

Agora, voltando à expressão para E[X]:
E[X] = 14 times 16 = 4

Resposta

A esperança matemática E[X] para a parte a) é 4.

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