Considere a função $$ f(x)= \begin{cases}C\left(2 x-x^{3}\right) & \text { se } 0

Passo 1

Beleza, vamos analisar o exercício juntos! A gente tem duas funções definidas por partes e queremos saber se elas podem ser funções de densidade de probabilidade. Se puderem, precisamos descobrir o valor da constante . Para isso, vamos precisar entender o que é uma função de densidade de probabilidade e como verificar se uma função atende aos critérios. Vamos lá!

Passo 2

Primeiro, lembrando o que é uma função de densidade de probabilidade: ela precisa satisfazer duas condições básicas: 1. A função deve ser não negativa em todo o seu domínio, ou seja, para todo . 2. A integral da função em todo o seu domínio deve ser igual a 1. Vamos verificar essas condições para a primeira função que nos foi dada.

Passo 3

A primeira função é: á Primeiro, vamos garantir que no intervalo .

Passo 4

Vamos analisar no intervalo . Fatorando: Queremos que isso seja não negativo: Sabemos que no intervalo considerado. Então, precisamos que : Então, para , . Entretanto, para , , o que não é permitido em uma função de densidade.

Passo 5

Como fica negativa em parte do domínio , essa função **não pode** ser uma função de densidade de probabilidade. Portanto, não há valor de que torne válida como função de densidade nesse caso.

Passo 6

Agora vamos analisar a segunda função: á Novamente, vamos verificar se no intervalo .

Passo 7

Analisando no intervalo : Podemos fatorar: Queremos que isso seja não negativo: Sabemos que e para . No intervalo , . Para , , então .

Passo 8

Assim como antes, é negativa para . Diferente do primeiro caso, agora a função é não negativa apenas no intervalo . Então, para que seja uma função de densidade válida, precisamos restringir o domínio onde ela é positiva. Vamos ajustar o domínio para .

Passo 9

Agora, assumindo que o domínio relevante é , vamos encontrar de forma que a integral de nesse intervalo seja igual a 1:

Passo 10

Calculando a integral: Igualando a 1:

Resposta

Sim, a função pode ser uma função de densidade de probabilidade no intervalo . O valor da constante é:

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