Considere a função $$ f(x)= \begin{cases}C\left(2 x-x^{3}\right) & \text { se } 0
Passo 1
Beleza, vamos analisar o exercício juntos! A gente tem duas funções definidas por partes e queremos saber se elas podem ser funções de densidade de probabilidade. Se puderem, precisamos descobrir o valor da constante . Para isso, vamos precisar entender o que é uma função de densidade de probabilidade e como verificar se uma função atende aos critérios. Vamos lá!
Passo 2
Primeiro, lembrando o que é uma função de densidade de probabilidade: ela precisa satisfazer duas condições básicas:
1. A função deve ser não negativa em todo o seu domínio, ou seja, para todo .
2. A integral da função em todo o seu domínio deve ser igual a 1.
Vamos verificar essas condições para a primeira função que nos foi dada.
Passo 3
A primeira função é:
Primeiro, vamos garantir que no intervalo .
Passo 4
Vamos analisar no intervalo .
Fatorando:
Queremos que isso seja não negativo:
Sabemos que no intervalo considerado. Então, precisamos que :
Então, para , . Entretanto, para , , o que não é permitido em uma função de densidade.
Passo 5
Como fica negativa em parte do domínio , essa função **não pode** ser uma função de densidade de probabilidade. Portanto, não há valor de que torne válida como função de densidade nesse caso.
Passo 6
Agora vamos analisar a segunda função:
Novamente, vamos verificar se no intervalo .
Passo 7
Analisando no intervalo :
Podemos fatorar:
Queremos que isso seja não negativo:
Sabemos que e para . No intervalo , . Para , , então .
Passo 8
Assim como antes, é negativa para . Diferente do primeiro caso, agora a função é não negativa apenas no intervalo .
Então, para que seja uma função de densidade válida, precisamos restringir o domínio onde ela é positiva. Vamos ajustar o domínio para .
Passo 9
Agora, assumindo que o domínio relevante é , vamos encontrar de forma que a integral de nesse intervalo seja igual a 1:
Passo 10
Calculando a integral:
Igualando a 1:
Resposta
Sim, a função pode ser uma função de densidade de probabilidade no intervalo . O valor da constante é:
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Seja uma variável aleatória com função densidade de probabilidade dada por
$$
f(x)= \begin{cases}c\left(1-x^{2}\right) & \text { se }-1
Esboce o gráfico da função de distribuição acumulada de usando o .
Calcule se tem uma função de densidade dada por
a)
b)
$$
f(x)= \begin{cases}c\left(1-x^{2}\right) & \text { se }-15 \ 0 & \text { se } x \leq 5\end{cases}
$$
Lima uma contém 30 bolinhas numeradas de 1 a 30 . Uma bolinha é escolhida e é observado seu número. Seja . Descreva os eventos:
a) o número obtido é par