Considere a função
f(x)= C(2 x-x^3) & se 0á
Poderia f ser uma função densidade de probabilidade? Caso positivo, determine C. Repita considerando que a função f seja dada por
f(x)= C(2 x-x^2) & se 0á

Passo 1

Beleza, vamos analisar o exercício juntos! A gente tem duas funções definidas por partes e queremos saber se elas podem ser funções de densidade de probabilidade. Se puderem, precisamos descobrir o valor da constante . Para isso, vamos precisar entender o que é uma função de densidade de probabilidade e como verificar se uma função atende aos critérios. Vamos lá!

Passo 2

Primeiro, lembrando o que é uma função de densidade de probabilidade: ela precisa satisfazer duas condições básicas:
  1. A função deve ser não negativa em todo o seu domínio, ou seja, para todo .
  2. A integral da função em todo o seu domínio deve ser igual a 1.
Vamos verificar essas condições para a primeira função que nos foi dada.

Passo 3

A primeira função é:
f(x)= C(2 x - x^3) & se 0 < x < 52 0 & caso contrário á
Primeiro, vamos garantir que no intervalo .

Passo 4

Vamos analisar 2x - x^3 = x(2 - x^2) no intervalo x(2 - x^2) >= 0 .
Fatorando:
2 - x^2 >= 0 Rightarrow x^2 <= 2 Rightarrow x <= raiz2 approx 1,414
Queremos que isso seja não negativo:
Sabemos que no intervalo considerado. Então, precisamos que :
Então, para , . Entretanto, para , , o que não é permitido em uma função de densidade.

Passo 5

Como fica negativa em parte do domínio , essa função não pode ser uma função de densidade de probabilidade. Portanto, não há valor de que torne válida como função de densidade nesse caso.

Passo 6

Agora vamos analisar a segunda função:
f(x)= C(2 x - x^2) & se 0 < x < 52 0 & caso contrário á
Novamente, vamos verificar se no intervalo .

Passo 7

Analisando 2x - x^2 = x(2 - x) no intervalo x(2 - x) >= 0 :
Podemos fatorar:
Queremos que isso seja não negativo:
Sabemos que e para . No intervalo , . Para , , então .

Passo 8

Assim como antes, é negativa para . Diferente do primeiro caso, agora a função é não negativa apenas no intervalo .
Então, para que seja uma função de densidade válida, precisamos restringir o domínio onde ela é positiva. Vamos ajustar o domínio para .

Passo 9

Agora, assumindo que o domínio relevante é integral0^2 C(2x - x^2) , dx = 1 , vamos encontrar de forma que a integral de nesse intervalo seja igual a 1:

Passo 10

Calculando a integral:
C integral0^2 (2x - x^2) , dx = C [ x^2 - x^33 ]0^2 = C [ (4 - 83) - (0 - 0) ] = C ( 123 - 83 ) = C ( 43 )
Igualando a 1:
C ( 43 ) = 1 Rightarrow C = 34

Resposta

Sim, a função C = 34 pode ser uma função de densidade de probabilidade no intervalo . O valor da constante é:

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