Considere a função
Poderia
ser uma função densidade de probabilidade? Caso positivo, determine
. Repita considerando que a função
seja dada por
Passo 1
Beleza, vamos analisar o exercício juntos! A gente tem duas funções definidas por partes e queremos saber se elas podem ser funções de densidade de probabilidade. Se puderem, precisamos descobrir o valor da constante
. Para isso, vamos precisar entender o que é uma função de densidade de probabilidade e como verificar se uma função atende aos critérios. Vamos lá!
Passo 2
Primeiro, lembrando o que é uma função de densidade de probabilidade: ela precisa satisfazer duas condições básicas:
- A função deve ser não negativa em todo o seu domínio, ou seja,
para todo . - A integral da função em todo o seu domínio deve ser igual a 1.
Vamos verificar essas condições para a primeira função que nos foi dada.
Passo 3
A primeira função é:
Primeiro, vamos garantir que
no intervalo
.
Passo 4
Vamos analisar
no intervalo
.
Fatorando:
Queremos que isso seja não negativo:
Sabemos que
no intervalo considerado. Então, precisamos que
:
Então, para
,
. Entretanto, para
,
, o que não é permitido em uma função de densidade.
Passo 5
Como
fica negativa em parte do domínio
, essa função não pode ser uma função de densidade de probabilidade. Portanto, não há valor de
que torne
válida como função de densidade nesse caso.
Passo 6
Agora vamos analisar a segunda função:
Novamente, vamos verificar se
no intervalo
.
Passo 7
Analisando
no intervalo
:
Podemos fatorar:
Queremos que isso seja não negativo:
Sabemos que
e
para
. No intervalo
,
. Para
,
, então
.
Passo 8
Assim como antes,
é negativa para
. Diferente do primeiro caso, agora a função é não negativa apenas no intervalo
.
Então, para que
seja uma função de densidade válida, precisamos restringir o domínio onde ela é positiva. Vamos ajustar o domínio para
.
Passo 9
Agora, assumindo que o domínio relevante é
, vamos encontrar
de forma que a integral de
nesse intervalo seja igual a 1:
Passo 10
Calculando a integral:
Igualando a 1:
Resposta
Sim, a função
pode ser uma função de densidade de probabilidade no intervalo
. O valor da constante
é: