Seja
uma variável aleatória com função densidade de probabilidade dada por
a) Qual é o valor de c?
b) Qual é a função distribuição acumulada de X?
b) Qual é a função distribuição acumulada de X?
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão está dividida em duas partes. Na primeira, precisamos descobrir o valor de
na função densidade de probabilidade dada. Isso está relacionado com o conteúdo de probabilidade, especificamente com a propriedade de que a integral da função densidade ao longo de todo o espaço deve ser igual a 1. Na segunda parte, vamos encontrar a função distribuição acumulada de
, que também faz parte do estudo de probabilidade e estatística.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a parte a): Qual é o valor de
?
A função densidade de probabilidade
deve satisfazer a condição:
No nosso caso, como
fora do intervalo
, podemos simplificar a integral para:
Passo 3
Vamos calcular a integral:
Primeiro, integramos
e
separadamente:
Passo 4
Agora, substituímos os valores encontrados na integral original:
Calculando dentro dos parênteses:
Então:
Passo 5
Agora, vamos para a parte b): Qual é a função distribuição acumulada de
?
A função distribuição acumulada
é definida como:
No nosso caso, como
fora de
, precisamos considerar diferentes intervalos para
.
Passo 6
Vamos considerar três casos para
:
-
Para
: Como a função densidade é zero abaixo de, temos: -
Para
: Aqui, integramosde até : -
Para
: Toda a probabilidade já foi acumulada, então:
Passo 7
Vamos calcular a integral para o caso
:
Integrando
e
:
Então:
Simplificando:
Resposta
a) O valor de
é
.
b) A função distribuição acumulada de
é: