Seja X uma variável aleatória com função densidade de probabilidade dada por
f(x)= c(1-x^2) & se -1á
a) Qual é o valor de c?
b) Qual é a função distribuição acumulada de X?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão está dividida em duas partes. Na primeira, precisamos descobrir o valor de na função densidade de probabilidade dada. Isso está relacionado com o conteúdo de probabilidade, especificamente com a propriedade de que a integral da função densidade ao longo de todo o espaço deve ser igual a 1. Na segunda parte, vamos encontrar a função distribuição acumulada de , que também faz parte do estudo de probabilidade e estatística.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a parte a): Qual é o valor de integral-infty^+infty f(x) , dx = 1 ?
A função densidade de probabilidade integral-1^1 c(1 - x^2) , dx = 1 deve satisfazer a condição:
No nosso caso, como fora do intervalo , podemos simplificar a integral para:

Passo 3

Vamos calcular a integral:
integral-1^1 c(1 - x^2) , dx = c integral-1^1 (1 - x^2) , dx
Primeiro, integramos integral-1^1 1 , dx = [x]-1^1 = 1 - (-1) = 2 e integral-1^1 x^2 , dx = [ x^33 ]-1^1 = ( 13 - (-1)^33 ) = 13 - (-13) = 23 separadamente:

Passo 4

Agora, substituímos os valores encontrados na integral original:
c ( 2 - 23 ) = 1
Calculando dentro dos parênteses:
2 - 23 = 63 - 23 = 43
Então:
c cdot 43 = 1 implies c = 34

Passo 5

Agora, vamos para a parte b): Qual é a função distribuição acumulada de F(x) = P(X <= x) = integral-infty^x f(t) , dt ?
A função distribuição acumulada é definida como:
No nosso caso, como fora de , precisamos considerar diferentes intervalos para .

Passo 6

Vamos considerar três casos para F(x) = 0 :
  1. Para F(x) = integral-1^x 34(1 - t^2) , dt :
    Como a função densidade é zero abaixo de F(x) = 1 , temos:
  2. Para :
    Aqui, integramos de até :
  3. Para :
    Toda a probabilidade já foi acumulada, então:

Passo 7

Vamos calcular a integral para o caso F(x) = 34 integral-1^x (1 - t^2) , dt :
integral (1 - t^2) , dt = t - t^33
Integrando F(x) = 34 [ ( x - x^33 ) - ( (-1) - (-1)^33 ) ] e F(x) = 34 ( x - x^33 + 1 - (-13) ) = 34 ( x - x^33 + 1 + 13 ) :
F(x) = 34 ( x - x^33 + 43 ) = 34 x - x^34 + 1
Então:
Simplificando:

Resposta

a) O valor de F(x) = 0 & se x < -1 34x - x^34 + 1 & se -1 <= x <= 1 1 & se x > 1 é .
b) A função distribuição acumulada de é:

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