Seja uma variável aleatória com função densidade de probabilidade dada por
á
a) Qual é o valor de c?
b) Qual é a função distribuição acumulada de X?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão está dividida em duas partes. Na primeira, precisamos descobrir o valor de na função densidade de probabilidade dada. Isso está relacionado com o conteúdo de probabilidade, especificamente com a propriedade de que a integral da função densidade ao longo de todo o espaço deve ser igual a 1. Na segunda parte, vamos encontrar a função distribuição acumulada de , que também faz parte do estudo de probabilidade e estatística.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a parte a): Qual é o valor de ?
A função densidade de probabilidade deve satisfazer a condição:
No nosso caso, como fora do intervalo , podemos simplificar a integral para:

Passo 3

Vamos calcular a integral:
Primeiro, integramos e separadamente:

Passo 4

Agora, substituímos os valores encontrados na integral original:
Calculando dentro dos parênteses:
Então:

Passo 5

Agora, vamos para a parte b): Qual é a função distribuição acumulada de ?
A função distribuição acumulada é definida como:
No nosso caso, como fora de , precisamos considerar diferentes intervalos para .

Passo 6

Vamos considerar três casos para :
  1. Para :
    Como a função densidade é zero abaixo de , temos:
  2. Para :
    Aqui, integramos de até :
  3. Para :
    Toda a probabilidade já foi acumulada, então:

Passo 7

Vamos calcular a integral para o caso :
Integrando e :
Então:
Simplificando:

Resposta

a) O valor de é .
b) A função distribuição acumulada de é:

Exercícios relacionados

Esboce o gráfico da função de distribuição acumulada de usando o .
A concentração de uma reação é uma variável aleatória com função densidade de probabilidade
a. Esboce o gráfico da f.d.p. de usando o .
Considere a função
á
Poderia ser uma função densidade de probabilidade? Caso positivo, determine . Repita considerando que a função seja dada por
á
Calcule se tem uma função de densidade dada por
a)
á
b)
á
c)