Determine a densidade de Y=|X|, onde X tem distribuição normal padrão.

Passo 1

Beleza! O exercício pede pra gente descobrir a densidade de probabilidade de , onde segue uma distribuição normal padrão. Isso envolve entender como transformar uma variável aleatória para outra e conhecer as propriedades da distribuição normal. Vamos precisar das fórmulas da densidade normal e saber como aplicar transformações de variáveis.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a densidade de uma distribuição normal padrão. A função de densidade de fX(x) = 1raiz2pi e^-x^22 é dada por:
Essa é a fórmula que usamos pra saber a probabilidade de assumir um valor específico.

Passo 3

Agora, como fY(y) = fX(y) + fX(-y) , estamos basicamente pegando os valores de e transformando todos os negativos em positivos. Então, pra cada valor positivo de , tem dois valores de que dão esse : um positivo e um negativo. Isso significa que a densidade de será a soma das densidades de em e em .
Ou seja:

Passo 4

Mas, a distribuição normal é simétrica em relação a zero. Isso quer dizer que fY(y) = 2 fX(y) = 2raiz2pi e^-y^22 para qualquer . Portanto, a densidade de fica:

Resposta

A densidade de fY(y) = 2raiz2pi e^-y^22 para y >= 0 , onde tem distribuição normal padrão, é:

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