Calcule o tempo necessário para que uma membrana gelatinosa de 2 mm de espessura adsorva 70 ( g de álcool)/( L de gel) de um determinado álcool que está presente em uma solução alcoólica de 100 ( g de álcool)/(L de solução). Sabe-se que a concentração inicial do soluto é nula no gel e que Biм=0,5 ; Kp=0,95 Lм de solução/( L de gel); Def =6,0^* 10^-6 cm^2 / s.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício que envolve calcular quanto tempo uma membrana gelatinosa de 2 mm precisa para absorver uma certa quantidade de álcool de uma solução. Isso é matéria de transferência de massa, mais especificamente de difusão. Para resolver, vamos precisar das informações sobre a espessura da membrana, as concentrações iniciais e finais, o número de Biot, o coeficiente de partição (Kₚ) e o coeficiente de difusão (Def).

Passo 2

Primeiro, precisamos entender o que cada dado representa:
  • Espessura da membrana (L): 2 mm = 0,2 cm.
  • Concentração inicial na solução (C₀): 100 g/L de álcool.
  • Concentração final na membrana (Cₓ): 70 g/L de álcool.
  • Número de Biot (Biₘ): 0,5. Esse número nos ajuda a saber se a resistência à massa está dentro ou fora da membrana.
  • Coeficiente de partição (Kₚ): 0,95 L solução/L gel. Ele relaciona a concentração no gel com a concentração na solução.
  • Coeficiente de difusão (Def): 6,0 × 10⁻⁶ cm²/s. Mostra quão rápido o álcool difunde na membrana.

Passo 3

Como o número de Biot é maior que 0,1 (Biₘ = 0,5 > 0,1), isso indica que a resistência interna à difusão dentro da membrana é significativa. Portanto, precisamos considerar essa resistência na nossa equação para calcular o tempo de difusão.

Passo 4

A fórmula básica para calcular o tempo de difusão (t) em uma membrana quando a resistência interna é relevante é:
t = L^2pi^2 D
onde:
  • é a espessura da membrana,
  • é o coeficiente de difusão.

Passo 5

Vamos substituir os valores na fórmula:
L = 0,2 , cm
D = 6,0 times 10^-6 , cm^2/s
t = (0,2)^2pi^2 times 6,0 times 10^-6

Passo 6

Calculando o numerador:
(0,2)^2 = 0,04 , cm^2
Calculando o denominador:
pi^2 times 6,0 times 10^-6 approx 9,8696 times 6,0 times 10^-6 approx 5,9218 times 10^-5 , cm^2/s

Passo 7

Dividindo os valores:
t = 0,045,9218 times 10^-5 approx 675,4 , segundos

Passo 8

Convertendo segundos para minutos:
675,4 , segundos div 60 approx 11,26 , minutos

Resposta

O tempo necessário para a membrana gelatinosa absorver 70 g/L de álcool é aproximadamente 11,3 minutos.

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