Calcule todos os vetores unitários associados vetores . Em seguida, mostre que é possivel reescrever todos os vetores do metano em termos de apenas três desses vetores unitários.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me pediu para calcular todos os vetores unitários associados aos vetores no metano e depois mostrar que dá pra reescrever todos esses vetores usando apenas três desses vetores unitários. Isso envolve conhecimentos de vetores e geometria molecular. Então, vamos precisar entender como os vetores se comportam na molécula de metano e aplicar conceitos de álgebra vetorial para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um vetor unitário. Um vetor unitário é um vetor com magnitude igual a 1, ou seja, ele só indica direção. Para encontrar um vetor unitário a partir de um vetor qualquer, dividimos cada componente do vetor pela sua magnitude.

Passo 3

Agora, vamos considerar a molécula de metano ( ). O átomo de carbono está no centro e os quatro átomos de hidrogênio estão distribuídos simetricamente nos cantos de um tetraedro. Isso significa que os vetores apontam para as quatro direções de um tetraedro regular.

Passo 4

Vamos escolher um sistema de coordenadas para facilitar nossos cálculos. Podemos posicionar o átomo de carbono na origem . Os quatro vetores podem ser representados como vetores que vão da origem para os pontos das quatro pontas do tetraedro. As coordenadas desses pontos, para um tetraedro regular, podem ser:

Passo 5

Agora, vamos calcular os vetores unitários correspondentes a cada um desses vetores . A magnitude de cada vetor é:
Então, o vetor unitário é:
Aplicando isso para todos os vetores:

Passo 6

Agora, queremos mostrar que todos esses quatro vetores unitários podem ser escritos em termos de apenas três deles. Vamos ver se existe uma relação linear entre eles.
Observando os vetores, percebemos que a soma de todos os quatro vetores unitários é o vetor nulo:
Isso significa que um dos vetores pode ser escrito como a soma dos outros três com sinal invertido. Por exemplo:

Passo 7

Portanto, todos os quatro vetores unitários podem ser expressos em termos de apenas três deles. Isso mostra que, na estrutura do metano, três vetores unitários são suficientes para representar todos os vetores .

Resposta

Calculamos os quatro vetores unitários associados aos vetores no metano e mostramos que todos podem ser reescritos em termos de apenas três desses vetores unitários. Portanto, apenas três vetores unitários são necessários para representar todos os vetores na molécula de metano.

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