Quando a chave S é fechada, ocorre a autoindução do indutor; depois de algum tempo, após a queima do fusível, podemos afirmar que a equação do circuito pode ser expressa por:
L d id t+R i=mathscrE ( circuito R L)

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a gente tem aqui. O exercício fala sobre um circuito RL, que é um circuito com um indutor (L) e uma resistência ®. Quando a chave L d id t + R i = mathscrE é fechada, o indutor cria uma autoindução, e depois de algum tempo, após o fusível queimar, a equação que descreve esse circuito é:
Vamos precisar entender um pouco de circuitos elétricos, especialmente como os indutores funcionam, e resolver uma equação diferencial para achar a corrente no circuito.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que cada termo na equação representa. é a força contra-eletromotriz (FCEM) do indutor, que resiste às mudanças na corrente. é a queda de tensão na resistência. é a tensão fornecida pela fonte.

Passo 3

A equação é uma equação diferencial linear de primeira ordem. Para resolver, vamos achar uma solução geral que inclui a solução da equação homogênea e uma solução particular.

Passo 4

Primeiro, resolvemos a equação homogênea:
L d id t + R i = 0
Dividindo tudo por d id t + RL i = 0 :
i(t) = C e^-RL t
Essa é uma equação diferencial simples cuja solução é:
onde é uma constante que vamos determinar usando a condição inicial.

Passo 5

Agora, precisamos achar uma solução particular para a equação completa. Como o termo independente é uma constante 0 + R ip = mathscrE implies ip = mathscrER , uma solução particular também será uma constante. Vamos supor .
Substituindo na equação:

Passo 6

A solução geral é a soma da solução homogênea e da solução particular:
i(t) = C e^-RL t + mathscrER

Passo 7

Agora, usamos a condição inicial. Geralmente, quando a chave é fechada, a corrente inicial é zero, ou seja, 0 = C e^0 + mathscrER implies C = -mathscrER .
Substituindo :

Passo 8

Substituindo i(t) = -mathscrER e^-RL t + mathscrER = mathscrER (1 - e^-RL t) na solução geral:

Resposta

A corrente no circuito RL após a chave ser fechada é:
i(t) = mathscrER (1 - e^-RL t)

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