Calcule o trabalho realizado durante a expansão quase-estática e isotérmica de 1 mol de gás, de um volume Vi a um volume Vf, quando a equação de estado é a de van der Waals. Avalie a dependência deste trabalho em função das variáveis a e b na equação de van der Waals.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular o trabalho feito durante a expansão quase-estática e isotérmica de 1 mol de gás, passando de um volume inicial Vi para um volume final Vf. Para isso, vamos usar a equação de estado de van der Waals. Além disso, vamos ver como esse trabalho depende das constantes a e b da equação de van der Waals. Vamos precisar lembrar de conceitos de termodinâmica, especialmente sobre trabalho em processos isotérmicos e a equação de van der Waals.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa um processo isotérmico: é um processo onde a temperatura T do gás permanece constante. Em processos quase-estáticos, ou quasi-static, o processo acontece de forma lenta, permitindo que o sistema esteja sempre em equilíbrio.

Passo 3

O trabalho realizado por um gás em uma expansão isotérmica é dado pela integral:
W = integralVi^Vf P , dV
Aqui, P é a pressão do gás que varia com o volume durante a expansão.

Passo 4

Como estamos usando a equação de van der Waals, precisamos expressar a pressão P em função do volume V. A equação de van der Waals para 1 mol de gás é:
(P + aV^2)(V - b) = RT
Onde:
  • a e b são constantes da equação de van der Waals
  • R é a constante dos gases ideais
  • T é a temperatura constante

Passo 5

Vamos resolver a equação de van der Waals para P:
P = RTV - b - aV^2
Assim, podemos substituir P na integral do trabalho:
W = integralVi^Vf ( RTV - b - aV^2 ) dV

Passo 6

Agora, vamos integrar cada termo separadamente:
  1. Integração do primeiro termo:
integral RTV - b , dV = RT ln(V - b)
  1. Integração do segundo termo:
integral aV^2 , dV = -aV

Passo 7

Aplicando os limites de integração, o trabalho fica:
W = RT ln(Vf - bVi - b) + a ( 1Vi - 1Vf )

Passo 8

Agora, vamos analisar como esse trabalho depende das constantes a e b:
  • Dependência de a: O termo a aparece na segunda parte da expressão do trabalho, indicando que quanto maior for o valor de a, maior será a contribuição negativa ao trabalho se Vf > Vi. Isso acontece porque a corrige a pressão devido às forças de atração intermoleculares.
  • Dependência de b: O termo b aparece dentro do logaritmo na primeira parte da expressão. Um aumento em b reduz o argumento do logaritmo, o que pode diminuir o valor absoluto do trabalho realizado durante a expansão.

Resposta

O trabalho realizado durante a expansão quase-estática e isotérmica de 1 mol de gás, utilizando a equação de van der Waals, é dado por:
W = RT ln(Vf - bVi - b) + a ( 1Vi - 1Vf )
Além disso, esse trabalho aumenta com o aumento da constante a e é inversamente afetado pela constante b, conforme detalhado nos passos anteriores.

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