Calcule o trabalho realizado durante a expansão quase-estática e isotérmica de 1 mol de gás, de um volume a um volume , quando a equação de estado é a de van der Waals. Avalie a dependência deste trabalho em função das variáveis e na equação de van der Waals.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular o trabalho feito durante a expansão quase-estática e isotérmica de 1 mol de gás, passando de um volume inicial para um volume final . Para isso, vamos usar a equação de estado de van der Waals. Além disso, vamos ver como esse trabalho depende das constantes e da equação de van der Waals. Vamos precisar lembrar de conceitos de termodinâmica, especialmente sobre trabalho em processos isotérmicos e a equação de van der Waals.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa um processo isotérmico: é um processo onde a temperatura do gás permanece constante. Em processos quase-estáticos, ou quasi-static, o processo acontece de forma lenta, permitindo que o sistema esteja sempre em equilíbrio.

Passo 3

O trabalho realizado por um gás em uma expansão isotérmica é dado pela integral:
Aqui, é a pressão do gás que varia com o volume durante a expansão.

Passo 4

Como estamos usando a equação de van der Waals, precisamos expressar a pressão em função do volume . A equação de van der Waals para 1 mol de gás é:
Onde:
  • e são constantes da equação de van der Waals
  • é a constante dos gases ideais
  • é a temperatura constante

Passo 5

Vamos resolver a equação de van der Waals para :
Assim, podemos substituir na integral do trabalho:

Passo 6

Agora, vamos integrar cada termo separadamente:
  1. Integração do primeiro termo:
  1. Integração do segundo termo:

Passo 7

Aplicando os limites de integração, o trabalho fica:

Passo 8

Agora, vamos analisar como esse trabalho depende das constantes e :
  • Dependência de : O termo aparece na segunda parte da expressão do trabalho, indicando que quanto maior for o valor de , maior será a contribuição negativa ao trabalho se . Isso acontece porque corrige a pressão devido às forças de atração intermoleculares.
  • Dependência de : O termo aparece dentro do logaritmo na primeira parte da expressão. Um aumento em reduz o argumento do logaritmo, o que pode diminuir o valor absoluto do trabalho realizado durante a expansão.

Resposta

O trabalho realizado durante a expansão quase-estática e isotérmica de 1 mol de gás, utilizando a equação de van der Waals, é dado por:
Além disso, esse trabalho aumenta com o aumento da constante e é inversamente afetado pela constante , conforme detalhado nos passos anteriores.

Exercícios relacionados

Dois capacitores de placas paralelas possuem a mesma distância de separação e a mesma área das placas. Inicialmente, a capacitância de ambos é de . Quando um dielétrico é inserido, de modo que preenche totalmetne o espaço entre as placas de um dos capacitores, a capacitância desse capacitor aumenta para . Os capacitores de e são conectados em paralelo e carregados por uma tensão de 100 V . A fonte então é removida. (a) Qual é a energia armazenada nesse sistema? (b) Quais são os valores das cargas nos dois capacitores? © O dielétrico é então removido do capacitor. Quais são as novas cargas nas placas dos capacitores. (d) Qual é a energia ginal armazenada no sistema?
Um capacitor esférico é constituído de uma esfera interna de raio com carga e uma casca esférica externa concênctrica de raio e carga . (a) Determine o campo elétrico e a densidade de energia em um ponto qualquer do espaço. (b) Calcule a energia no campo eletrostático em uma casca esférica de raio , espessura e volume entre os condutores. © Integre a expressão obtida no item (b) para obter a energia total armazenada no capacitor e campare o resultado com aquele obtido pela expressão .
Uma esfera condutora de raio , é carregada com carga . A esfera é circundada por uma camada dielétrica esférica concêntrica que tem raio interno , e raio externo , e um dielétrico cuja constante é . O sistema é colocado bem distante de outros corpos. (a) Determine o campo elétrico em um ponto qualquer do espaço. (b) Qual é o potencial na superfície da esfera condutora relativamente a no infinito? © Determine a energia potencial eletrostática total do sistema.
Para pequenas oscilações , obtenha alguns pares de valores para período ( ) e comprimento d fio (l). a) qual a estratégia escolhida para realizar a medida de e ?