Calcule o trabalho realizado durante a expansão quase-estática e isotérmica de 1 mol de gás, de um volume
a um volume
, quando a equação de estado é a de van der Waals. Avalie a dependência deste trabalho em função das variáveis
e
na equação de van der Waals.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular o trabalho feito durante a expansão quase-estática e isotérmica de 1 mol de gás, passando de um volume inicial
para um volume final
. Para isso, vamos usar a equação de estado de van der Waals. Além disso, vamos ver como esse trabalho depende das constantes
e
da equação de van der Waals. Vamos precisar lembrar de conceitos de termodinâmica, especialmente sobre trabalho em processos isotérmicos e a equação de van der Waals.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa um processo isotérmico: é um processo onde a temperatura
do gás permanece constante. Em processos quase-estáticos, ou quasi-static, o processo acontece de forma lenta, permitindo que o sistema esteja sempre em equilíbrio.
Passo 3
O trabalho realizado por um gás em uma expansão isotérmica é dado pela integral:
Aqui,
é a pressão do gás que varia com o volume durante a expansão.
Passo 4
Como estamos usando a equação de van der Waals, precisamos expressar a pressão
em função do volume
. A equação de van der Waals para 1 mol de gás é:
Onde:
-
e são constantes da equação de van der Waals -
é a constante dos gases ideais -
é a temperatura constante
Passo 5
Vamos resolver a equação de van der Waals para
:
Assim, podemos substituir
na integral do trabalho:
Passo 6
Agora, vamos integrar cada termo separadamente:
- Integração do primeiro termo:
- Integração do segundo termo:
Passo 7
Aplicando os limites de integração, o trabalho fica:
Passo 8
Agora, vamos analisar como esse trabalho depende das constantes
e
:
-
Dependência de
: O termo aparece na segunda parte da expressão do trabalho, indicando que quanto maior for o valor de , maior será a contribuição negativa ao trabalho se . Isso acontece porque corrige a pressão devido às forças de atração intermoleculares. -
Dependência de
: O termo aparece dentro do logaritmo na primeira parte da expressão. Um aumento em reduz o argumento do logaritmo, o que pode diminuir o valor absoluto do trabalho realizado durante a expansão.
Resposta
O trabalho realizado durante a expansão quase-estática e isotérmica de 1 mol de gás, utilizando a equação de van der Waals, é dado por:
Além disso, esse trabalho aumenta com o aumento da constante
e é inversamente afetado pela constante
, conforme detalhado nos passos anteriores.