Uma esfera condutora de raio , é carregada com carga . A esfera é circundada por uma camada dielétrica esférica concêntrica que tem raio interno , e raio externo , e um dielétrico cuja constante é . O sistema é colocado bem distante de outros corpos. (a) Determine o campo elétrico em um ponto qualquer do espaço. (b) Qual é o potencial na superfície da esfera condutora relativamente a no infinito? © Determine a energia potencial eletrostática total do sistema.

Passo 1

Vamos lá! O exercício fala sobre uma esfera condutora carregada com carga elétrica, cercada por uma camada dielétrica esférica. Nosso objetivo é determinar o campo elétrico em qualquer ponto do espaço, o potencial na superfície da esfera e a energia potencial eletrostática total do sistema. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de eletrostática, como a Lei de Gauss e a relação entre campo elétrico e potencial.

Passo 2

Parte (a): Determinar o campo elétrico em um ponto qualquer do espaço
Primeiro, vamos pensar em diferentes regiões onde o ponto em questão pode estar:
  1. Dentro da esfera condutora (r < R₁):
    • Em uma esfera condutora em equilíbrio eletrostático, o campo elétrico interno é zero. Isso acontece porque as cargas se redistribuem na superfície para cancelar qualquer campo interno.
  2. Na camada dielétrica (R₁ < r < R₂):
    • Aqui, temos um dielétrico com constante dielétrica κ. Vamos usar a Lei de Gauss para encontrar o campo elétrico. A presença do dielétrico afeta o campo através da polarização do material.
  3. Fora da camada dielétrica (r > R₂):
    • Fora do sistema, o campo elétrico se comporta como se toda a carga Q estivesse centralizada no ponto, já que a camada dielétrica não tem carga própria.

Passo 3

Dentro da esfera condutora (r < R₁):
Como mencionado, o campo elétrico dentro da esfera condutora é zero:

Passo 4

Na camada dielétrica (R₁ < r < R₂):
Aplicando a Lei de Gauss, que diz que o fluxo elétrico através de uma superfície fechada é igual à carga interna dividida pela permitividade do meio:
Como a simetria é esférica, o campo elétrico E depende apenas da distância r:
Resolvendo para E®:

Passo 5

Fora da camada dielétrica (r > R₂):
Novamente, aplicando a Lei de Gauss:
Pois a constante dielétrica fora é a do vácuo (assumindo). Assim:
Resolvendo para E®:

Passo 6

Parte (b): Determinar o potencial na superfície da esfera condutora relativamente a V=0 no infinito
Vamos calcular o potencial elétrico na superfície da esfera, que é a soma dos potenciais de cada região até chegar à superfície.
O potencial devido a uma carga Q em uma distância r é:
Mas aqui temos a camada dielétrica que afeta o potencial.

Passo 7

Primeiro, calculamos o potencial na superfície da esfera ( ) devido ao campo dentro da camada dielétrica ( ):
Mas precisamos considerar a constante dielétrica κ na camada :
Integrando:
Calculando as integrais:

Passo 8

Simplificando a expressão:
Após simplificações adicionais, a express��o final será:

Passo 9

Parte ©: Determinar a energia potencial eletrostática total do sistema
A energia potencial eletrostática pode ser calculada integrando a energia armazenada no campo elétrico em todo o espaço. A expressão geral é:
Onde na camada dielétrica e fora dela.

Passo 10

Dividimos a integração em três regiões:
  1. Dentro da esfera condutora (r < R₁):
    • , então não contribui para a energia.
  2. Na camada dielétrica (R₁ < r < R₂):
  3. Fora da camada dielétrica (r > R₂):
Vamos calcular a energia em cada região:

Passo 11

Simplificando as integrais:
Integrando:

Resposta

A energia potencial eletrostática total do sistema é:

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