Uma esfera condutora de raio R1, é carregada com carga Q. A esfera é circundada por uma camada dielétrica esférica concêntrica que tem raio interno R1, e raio externo R2, e um dielétrico cuja constante é kappa. O sistema é colocado bem distante de outros corpos. (a) Determine o campo elétrico em um ponto qualquer do espaço. (b) Qual é o potencial na superfície da esfera condutora relativamente a V=0 no infinito? © Determine a energia potencial eletrostática total do sistema.

Passo 1

Vamos lá! O exercício fala sobre uma esfera condutora carregada com carga elétrica, cercada por uma camada dielétrica esférica. Nosso objetivo é determinar o campo elétrico em qualquer ponto do espaço, o potencial na superfície da esfera e a energia potencial eletrostática total do sistema. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de eletrostática, como a Lei de Gauss e a relação entre campo elétrico e potencial.

Passo 2

Parte (a): Determinar o campo elétrico em um ponto qualquer do espaço
Primeiro, vamos pensar em diferentes regiões onde o ponto em questão pode estar:
  1. Dentro da esfera condutora (r < R₁):
    • Em uma esfera condutora em equilíbrio eletrostático, o campo elétrico interno é zero. Isso acontece porque as cargas se redistribuem na superfície para cancelar qualquer campo interno.
  2. Na camada dielétrica (R₁ < r < R₂):
    • Aqui, temos um dielétrico com constante dielétrica κ. Vamos usar a Lei de Gauss para encontrar o campo elétrico. A presença do dielétrico afeta o campo através da polarização do material.
  3. Fora da camada dielétrica (r > R₂):
    • Fora do sistema, o campo elétrico se comporta como se toda a carga Q estivesse centralizada no ponto, já que a camada dielétrica não tem carga própria.

Passo 3

Dentro da esfera condutora (r < R₁):
Como mencionado, o campo elétrico dentro da esfera condutora é zero:
E(r) = 0 para r < R1

Passo 4

Na camada dielétrica (R₁ < r < R₂):
Aplicando a Lei de Gauss, que diz que o fluxo elétrico através de uma superfície fechada é igual à carga interna dividida pela permitividade do meio:
oint E cdot dA = Qkappa varepsilon0
Como a simetria é esférica, o campo elétrico E depende apenas da distância r:
E(r) cdot 4pi r^2 = Qkappa varepsilon0
Resolvendo para E®:
E(r) = Q4pi kappa varepsilon0 r^2 para R1 < r < R2

Passo 5

Fora da camada dielétrica (r > R₂):
Novamente, aplicando a Lei de Gauss:
oint E cdot dA = Qvarepsilon0
Pois a constante dielétrica fora é a do vácuo (assumindo). Assim:
E(r) cdot 4pi r^2 = Qvarepsilon0
Resolvendo para E®:
E(r) = Q4pi varepsilon0 r^2 para r > R2

Passo 6

Parte (b): Determinar o potencial na superfície da esfera condutora relativamente a V=0 no infinito
Vamos calcular o potencial elétrico na superfície da esfera, que é a soma dos potenciais de cada região até chegar à superfície.
O potencial devido a uma carga Q em uma distância r é:
V = Q4pi varepsilon0 r
Mas aqui temos a camada dielétrica que afeta o potencial.

Passo 7

Primeiro, calculamos o potencial na superfície da esfera ( VR1 = integralR1^infty E(r) , dr ) devido ao campo dentro da camada dielétrica ( VR1 = integralR1^R2 Q4pi kappa varepsilon0 r^2 dr + integralR2^infty Q4pi varepsilon0 r^2 dr ):
VR1 = [ -Q4pi kappa varepsilon0 r ]R1^R2 + [ -Q4pi varepsilon0 r ]R2^infty
Mas precisamos considerar a constante dielétrica κ na camada VR1 = Q4pi kappa varepsilon0 R1 (1 - R1R2) + Q4pi varepsilon0 R2 :
Integrando:
Calculando as integrais:

Passo 8

Simplificando a expressão:
VR1 = Q4pi varepsilon0 R1 ( 1kappa - 1kappa cdot R1R2 + 1R2/R1 )
Após simplificações adicionais, a express��o final será:
VR1 = Q4pi varepsilon0 R1 ( 1kappa (1 - R1R2) + R1R2 )

Passo 9

Parte ©: Determinar a energia potencial eletrostática total do sistema
A energia potencial eletrostática pode ser calculada integrando a energia armazenada no campo elétrico em todo o espaço. A expressão geral é:
U = 12 integral varepsilon , E^2 , dV
Onde na camada dielétrica e fora dela.

Passo 10

Dividimos a integração em três regiões:
  1. Dentro da esfera condutora (r < R₁):
    • U = 12 ( integralR1^R2 kappa varepsilon0 ( Q4pi kappa varepsilon0 r^2 )^2 4pi r^2 dr + integralR2^infty varepsilon0 ( Q4pi varepsilon0 r^2 )^2 4pi r^2 dr ) , então não contribui para a energia.
  2. Na camada dielétrica (R₁ < r < R₂):
  3. Fora da camada dielétrica (r > R₂):
Vamos calcular a energia em cada região:

Passo 11

Simplificando as integrais:
U = 12 ( integralR1^R2 Q^216pi kappa varepsilon0 r^2 dr + integralR2^infty Q^216pi varepsilon0 r^2 dr )
Integrando:
U = Q^232pi kappa varepsilon0 [ -1r ]R1^R2 + Q^232pi varepsilon0 [ -1r ]R2^infty

Resposta

A energia potencial eletrostática total do sistema é:
U = Q^232pi kappa varepsilon0 ( 1R1 - 1R2 ) + Q^232pi varepsilon0 R2

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