Uma esfera condutora de raio
, é carregada com carga
. A esfera é circundada por uma camada dielétrica esférica concêntrica que tem raio interno
, e raio externo
, e um dielétrico cuja constante é
. O sistema é colocado bem distante de outros corpos. (a) Determine o campo elétrico em um ponto qualquer do espaço. (b) Qual é o potencial na superfície da esfera condutora relativamente a
no infinito? © Determine a energia potencial eletrostática total do sistema.
Passo 1
Vamos lá! O exercício fala sobre uma esfera condutora carregada com carga elétrica, cercada por uma camada dielétrica esférica. Nosso objetivo é determinar o campo elétrico em qualquer ponto do espaço, o potencial na superfície da esfera e a energia potencial eletrostática total do sistema. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de eletrostática, como a Lei de Gauss e a relação entre campo elétrico e potencial.
Passo 2
Parte (a): Determinar o campo elétrico em um ponto qualquer do espaço
Primeiro, vamos pensar em diferentes regiões onde o ponto em questão pode estar:
-
Dentro da esfera condutora (r < R₁):
- Em uma esfera condutora em equilíbrio eletrostático, o campo elétrico interno é zero. Isso acontece porque as cargas se redistribuem na superfície para cancelar qualquer campo interno.
-
Na camada dielétrica (R₁ < r < R₂):
- Aqui, temos um dielétrico com constante dielétrica κ. Vamos usar a Lei de Gauss para encontrar o campo elétrico. A presença do dielétrico afeta o campo através da polarização do material.
-
Fora da camada dielétrica (r > R₂):
- Fora do sistema, o campo elétrico se comporta como se toda a carga Q estivesse centralizada no ponto, já que a camada dielétrica não tem carga própria.
Passo 3
Dentro da esfera condutora (r < R₁):
Como mencionado, o campo elétrico dentro da esfera condutora é zero:
Passo 4
Na camada dielétrica (R₁ < r < R₂):
Aplicando a Lei de Gauss, que diz que o fluxo elétrico através de uma superfície fechada é igual à carga interna dividida pela permitividade do meio:
Como a simetria é esférica, o campo elétrico E depende apenas da distância r:
Resolvendo para E®:
Passo 5
Fora da camada dielétrica (r > R₂):
Novamente, aplicando a Lei de Gauss:
Pois a constante dielétrica fora é a do vácuo (assumindo). Assim:
Resolvendo para E®:
Passo 6
Parte (b): Determinar o potencial na superfície da esfera condutora relativamente a V=0 no infinito
Vamos calcular o potencial elétrico na superfície da esfera, que é a soma dos potenciais de cada região até chegar à superfície.
O potencial devido a uma carga Q em uma distância r é:
Mas aqui temos a camada dielétrica que afeta o potencial.
Passo 7
Primeiro, calculamos o potencial na superfície da esfera (
) devido ao campo dentro da camada dielétrica (
):
Mas precisamos considerar a constante dielétrica κ na camada
:
Integrando:
Calculando as integrais:
Passo 8
Simplificando a expressão:
Após simplificações adicionais, a express��o final será:
Passo 9
Parte ©: Determinar a energia potencial eletrostática total do sistema
A energia potencial eletrostática pode ser calculada integrando a energia armazenada no campo elétrico em todo o espaço. A expressão geral é:
Onde
na camada dielétrica e
fora dela.
Passo 10
Dividimos a integração em três regiões:
-
Dentro da esfera condutora (r < R₁):
-
, então não contribui para a energia.
-
-
Na camada dielétrica (R₁ < r < R₂):
-
-
Fora da camada dielétrica (r > R₂):
-
Vamos calcular a energia em cada região:
Passo 11
Simplificando as integrais:
Integrando:
Resposta
A energia potencial eletrostática total do sistema é:
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