Um capacitor esférico é constituído de uma esfera interna de raio R1 com carga +Q e uma casca esférica externa concênctrica de raio R2 e carga -Q. (a) Determine o campo elétrico e a densidade de energia em um ponto qualquer do espaço. (b) Calcule a energia no campo eletrostático em uma casca esférica de raio r, espessura d r e volume 4 pi r^2 d r entre os condutores. © Integre a expressão obtida no item (b) para obter a energia total armazenada no capacitor e campare o resultado com aquele obtido pela expressão U=C V^2 / 2.

Passo 1

Então, temos um capacitor esférico feito de duas partes: uma esfera interna com raio carregada com e uma casca externa concêntrica com raio carregada com . Vamos resolver três partes:
a) Encontrar o campo elétrico e a densidade de energia em qualquer ponto do espaço.
b) Calcular a energia no campo eletrostático em uma casca esférica de raio com espessura .
c) Integrar essa energia para encontrar a energia total armazenada no capacitor e comparar com a expressão .
Para isso, precisamos entender conceitos de campo elétrico de distribuições esféricas, densidade de energia elétrica e energia armazenada em capacitores.

Passo 2

Vamos começar pela parte (a). Primeiro, vamos determinar o campo elétrico em diferentes regiões do espaço. Usaremos a Lei de Gauss, que nos ajuda a calcular campos elétricos com simetria esférica.

Passo 3

Para E = 0 para r < R1 (dentro da esfera interna), como a carga está distribuída uniformemente na superfície, o campo elétrico é zero:

Passo 4

Para E = Q4pi varepsilon0 r^2 (entre as duas esferas), aplicamos a Lei de Gauss. A carga efetiva é , então o campo elétrico é:

Passo 5

Para E = 0 para r > R2 (fora da casca externa), as cargas e se cancelam, então o campo elétrico também é zero:

Passo 6

Agora, vamos calcular a densidade de energia elétrica u = 12 varepsilon0 E^2 , que é dada por:
Vamos calcular isso para cada região.

Passo 7

Para u = 0 e , como , a densidade de energia também é zero:

Passo 8

Para u = 12 varepsilon0 ( Q4pi varepsilon0 r^2 )^2 = Q^232 pi^2 varepsilon0 r^4 , substituímos o campo elétrico na expressão da densidade de energia:

Passo 9

Passando para a parte (b), queremos a energia em uma casca esférica de raio dU = u cdot Volume = u cdot 4pi r^2 dr e espessura . Sabemos que:
Substituindo que encontramos:

Passo 10

Substituindo:
dU = Q^232 pi^2 varepsilon0 r^4 cdot 4pi r^2 dr = Q^28 pi varepsilon0 r^2 dr

Passo 11

Finalmente, para a parte ©, vamos integrar U = integralR1^R2 Q^28 pi varepsilon0 r^2 dr = Q^28 pi varepsilon0 ( -1r ) g|R1^R2 = Q^28 pi varepsilon0 ( 1R1 - 1R2 ) de a para encontrar a energia total armazenada no capacitor:

Resposta

A energia total armazenada no capacitor esférico é:
U = Q^28 pi varepsilon0 ( 1R1 - 1R2 )
Isso coincide com a expressão , onde o capacitância para um capacitor esférico é e a diferença de potencial é .

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