Um capacitor esférico é constituído de uma esfera interna de raio com carga e uma casca esférica externa concênctrica de raio e carga . (a) Determine o campo elétrico e a densidade de energia em um ponto qualquer do espaço. (b) Calcule a energia no campo eletrostático em uma casca esférica de raio , espessura e volume entre os condutores. © Integre a expressão obtida no item (b) para obter a energia total armazenada no capacitor e campare o resultado com aquele obtido pela expressão .

Passo 1

Então, temos um capacitor esférico feito de duas partes: uma esfera interna com raio carregada com e uma casca externa concêntrica com raio carregada com . Vamos resolver três partes:
a) Encontrar o campo elétrico e a densidade de energia em qualquer ponto do espaço.
b) Calcular a energia no campo eletrostático em uma casca esférica de raio com espessura .
c) Integrar essa energia para encontrar a energia total armazenada no capacitor e comparar com a expressão .
Para isso, precisamos entender conceitos de campo elétrico de distribuições esféricas, densidade de energia elétrica e energia armazenada em capacitores.

Passo 2

Vamos começar pela parte (a). Primeiro, vamos determinar o campo elétrico em diferentes regiões do espaço. Usaremos a Lei de Gauss, que nos ajuda a calcular campos elétricos com simetria esférica.

Passo 3

Para (dentro da esfera interna), como a carga está distribuída uniformemente na superfície, o campo elétrico é zero:

Passo 4

Para (entre as duas esferas), aplicamos a Lei de Gauss. A carga efetiva é , então o campo elétrico é:

Passo 5

Para (fora da casca externa), as cargas e se cancelam, então o campo elétrico também é zero:

Passo 6

Agora, vamos calcular a densidade de energia elétrica , que é dada por:
Vamos calcular isso para cada região.

Passo 7

Para e , como , a densidade de energia também é zero:

Passo 8

Para , substituímos o campo elétrico na expressão da densidade de energia:

Passo 9

Passando para a parte (b), queremos a energia em uma casca esférica de raio e espessura . Sabemos que:
Substituindo que encontramos:

Passo 10

Substituindo:

Passo 11

Finalmente, para a parte ©, vamos integrar de a para encontrar a energia total armazenada no capacitor:

Resposta

A energia total armazenada no capacitor esférico é:
Isso coincide com a expressão , onde o capacitância para um capacitor esférico é e a diferença de potencial é .

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