Então, temos um capacitor esférico feito de duas partes: uma esfera interna com raio carregada com e uma casca externa concêntrica com raio carregada com . Vamos resolver três partes:
a) Encontrar o campo elétrico e a densidade de energia em qualquer ponto do espaço.
b) Calcular a energia no campo eletrostático em uma casca esférica de raio com espessura .
c) Integrar essa energia para encontrar a energia total armazenada no capacitor e comparar com a expressão .
Para isso, precisamos entender conceitos de campo elétrico de distribuições esféricas, densidade de energia elétrica e energia armazenada em capacitores.
Passo 2
Vamos começar pela parte (a). Primeiro, vamos determinar o campo elétrico em diferentes regiões do espaço. Usaremos a Lei de Gauss, que nos ajuda a calcular campos elétricos com simetria esférica.
Passo 3
Para (dentro da esfera interna), como a carga está distribuída uniformemente na superfície, o campo elétrico é zero:
Passo 4
Para (entre as duas esferas), aplicamos a Lei de Gauss. A carga efetiva é , então o campo elétrico é:
Passo 5
Para (fora da casca externa), as cargas e se cancelam, então o campo elétrico também é zero:
Passo 6
Agora, vamos calcular a densidade de energia elétrica , que é dada por:
Vamos calcular isso para cada região.
Passo 7
Para e , como , a densidade de energia também é zero:
Passo 8
Para , substituímos o campo elétrico na expressão da densidade de energia:
Passo 9
Passando para a parte (b), queremos a energia em uma casca esférica de raio e espessura . Sabemos que: