Calcule o trabalho realizado pela força cujas componentes são Fx=x^4 e Fy=x y(em N) atuando sobre uma partícula que se desloca no plano x y, ao longo de um triângulo cujos vértices são (0,0),(0,1) e (1,0) (em m), no sentido anti-horário.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular o trabalho realizado por uma força com componentes e quando uma partícula se move ao longo de um triângulo no plano , passando pelos vértices , e , no sentido anti-horário. Para isso, vamos usar o conceito de trabalho através de integrais de linha e aplicar o Teorema de Green.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o trabalho realizado por uma força ao longo de um caminho é dado por uma integral de linha:
W = ointC F cdot dr = ointC (Fx , dx + Fy , dy)
Mas integrar diretamente ao longo de cada lado do triângulo pode ser meio chato. Por isso, vamos usar o Teorema de Green, que transforma essa integral de linha em uma integral dupla sobre a área do triângulo. Isso simplifica bastante os cálculos!

Passo 3

O Teorema de Green diz que:
ointC (Fx , dx + Fy , dy) = integral duplaD ( partial Fypartial x - partial Fxpartial y ) dA
Aqui, partial Fypartial x = partialpartial x (x y) = y é a região delimitada pelo caminho partial Fxpartial y = partialpartial y (x^4) = 0 , que no nosso caso é o triângulo. Vamos calcular as derivadas parciais necessárias.
Primeiro, a derivada de em relação a :
Depois, a derivada de em relação a :

Passo 4

Substituindo essas derivadas na expressão do Teorema de Green, temos:
W = integral duplaD (y - 0) , dA = integral duplaD y , dA
Agora, precisamos configurar a integral dupla sobre a área do triângulo com vértices y ) varia de 0 até a linha que liga ( (0,1) ) e ( (1,0) ), que é ( y = 1 - x , W = integralx=0^1 integraly=0^1 - x y , dy , dx e integral0^1 - x y , dy = [ y^22 ]0^1 - x = (1 - x)^22 .
Para isso, vamos decidir os limites de integração. Observando o triângulo, podemos expressar W = integral0^1 (1 - x)^22 , dx = 12 integral0^1 (1 - x)^2 , dx em função de (1 - x)^2 = 1 - 2x + x^2 :
Então, nossa integral fica:
W = 12 [ integral0^1 1 , dx - 2 integral0^1 x , dx + integral0^1 x^2 , dx ]
Vamos resolver a integral interna primeiro:
integral0^1 1 , dx = 1
Agora, substituímos na integral externa:
2 integral0^1 x , dx = 2 [ x^22 ]0^1 = 2 ( 12 ) = 1
Expandindo integral0^1 x^2 , dx = [ x^33 ]0^1 = 13 :
W = 12 ( 1 - 1 + 13 ) = 12 cdot 13 = 16 , J
Então,
Calculando cada integral:
Substituindo de volta:

Resposta

O trabalho realizado pela força ao longo do triângulo é joules.

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