Calcule o trabalho realizado pela força cujas componentes são
e
atuando sobre uma partícula que se desloca no plano
, ao longo de um triângulo cujos vértices são
e
(em m), no sentido anti-horário.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular o trabalho realizado por uma força com componentes
e
quando uma partícula se move ao longo de um triângulo no plano
, passando pelos vértices
,
e
, no sentido anti-horário. Para isso, vamos usar o conceito de trabalho através de integrais de linha e aplicar o Teorema de Green.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o trabalho realizado por uma força ao longo de um caminho é dado por uma integral de linha:
Mas integrar diretamente ao longo de cada lado do triângulo pode ser meio chato. Por isso, vamos usar o Teorema de Green, que transforma essa integral de linha em uma integral dupla sobre a área do triângulo. Isso simplifica bastante os cálculos!
Passo 3
O Teorema de Green diz que:
Aqui,
é a região delimitada pelo caminho
, que no nosso caso é o triângulo. Vamos calcular as derivadas parciais necessárias.
Primeiro, a derivada de
em relação a
:
Depois, a derivada de
em relação a
:
Passo 4
Substituindo essas derivadas na expressão do Teorema de Green, temos:
Agora, precisamos configurar a integral dupla sobre a área do triângulo com vértices
,
e
.
Para isso, vamos decidir os limites de integração. Observando o triângulo, podemos expressar
em função de
:
Então, nossa integral fica:
Vamos resolver a integral interna primeiro:
Agora, substituímos na integral externa:
Expandindo
:
Então,
Calculando cada integral:
Substituindo de volta:
Resposta
O trabalho realizado pela força ao longo do triângulo é
joules.