Uma partícula é submetida à ação de uma força cujos componentes são Fx=a x^3+b x y^2+ c z, Fy=a y^3+b x^2 y e Fz=c x.
a) Mostre nabla times F=0, indicando que esta força é conservativa.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente mostrar que o rotacional da força é zero, ou seja, . Isso indica que a força é conservativa. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente o cálculo do rotacional de um campo vetorial.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como calcular o rotacional nabla times F = ( partial Fzpartial y - partial Fypartial z, partial Fxpartial z - partial Fzpartial x, partial Fypartial x - partial Fxpartial y ) . Se , então:
Vamos calcular cada uma dessas componentes.

Passo 3

Primeira componente: partial Fzpartial y = partial (c x)partial y = 0
Dado que partial Fypartial z = partial (a y^3 + b x^2 y)partial z = 0 :
E :
Então, a primeira componente é .

Passo 4

Segunda componente: partial Fxpartial z = partial (a x^3 + b x y^2 + c z)partial z = c
Dado que partial Fzpartial x = partial (c x)partial x = c :
E :
Então, a segunda componente é .

Passo 5

Terceira componente: partial Fypartial x = partial (a y^3 + b x^2 y)partial x = 2b x y
Dado que partial Fxpartial y = partial (a x^3 + b x y^2 + c z)partial y = 2b x y :
E :
Então, a terceira componente é .

Resposta

Como todas as componentes do rotacional são zero, temos . Isso significa que a força é conservativa.

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