Calcule a transformada de Fourier das funções abaixo:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular a transformada de Fourier da função
. Para isso, vamos usar conceitos de transformada de Fourier e propriedades de funções exponenciais e gaussianas. Não se preocupa se alguns termos parecerem complicados no início, vamos quebrar tudo em partes simples!
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a transformada de Fourier. Ela transforma uma função no domínio do tempo (ou espaço) para o domínio da frequência. A fórmula geral da transformada de Fourier de uma função
é:
Aqui,
representa a frequência.
Passo 3
Nossa função é
. Vamos notar que ela é um produto de duas partes:
-
: uma função exponencial complexa. -
: uma gaussiana centrada em .
Vamos calcular a transformada de cada parte e depois combinar os resultados.
Passo 4
Primeiro, a transformada de Fourier da gaussiana
é conhecida e é dada por:
No nosso caso,
e
, então:
Passo 5
Agora, vamos considerar a parte
. Essa é uma modulação em frequência. A propriedade de modulação da transformada de Fourier nos diz que multiplicar a função original por
desloca sua transformada para a frequência
. A fórmula é:
Aqui,
.
Passo 6
Aplicando essa propriedade à nossa função completa
, temos:
Isso porque a modulação por
desloca a frequência da transformada da gaussiana para
.
Resposta
A transformada de Fourier da função
é:
Exercícios relacionados
a)
b)
c)
d)
e)
f)
b)
c)
d)
e)
f)
Encontre
sabendo que
e que
Descida se as desigualdades são verdadeiras ou falsas:
Calcule a transformada de Fourier das funções abaixo: