Calcule a transformada de Fourier das funções abaixo:

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular a transformada de Fourier da função . Para isso, vamos usar conceitos de transformada de Fourier e propriedades de funções exponenciais e gaussianas. Não se preocupa se alguns termos parecerem complicados no início, vamos quebrar tudo em partes simples!

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a transformada de Fourier. Ela transforma uma função no domínio do tempo (ou espaço) para o domínio da frequência. A fórmula geral da transformada de Fourier de uma função é:
Aqui, representa a frequência.

Passo 3

Nossa função é . Vamos notar que ela é um produto de duas partes:
  1. : uma função exponencial complexa.
  2. : uma gaussiana centrada em .
Vamos calcular a transformada de cada parte e depois combinar os resultados.

Passo 4

Primeiro, a transformada de Fourier da gaussiana é conhecida e é dada por:
No nosso caso, e , então:

Passo 5

Agora, vamos considerar a parte . Essa é uma modulação em frequência. A propriedade de modulação da transformada de Fourier nos diz que multiplicar a função original por desloca sua transformada para a frequência . A fórmula é:
Aqui, .

Passo 6

Aplicando essa propriedade à nossa função completa , temos:
Isso porque a modulação por desloca a frequência da transformada da gaussiana para .

Resposta

A transformada de Fourier da função é:

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a)
b)
c)
d)
e)
f)
Encontre sabendo que
e que
Descida se as desigualdades são verdadeiras ou falsas:
Calcule a transformada de Fourier das funções abaixo: