Calcule a transformada inversa da função abaixo
F(s)=s^3+5 s^2+9 s+7(s+1)(s+2)

Passo 1

Beleza, vamos por partes! A questão pede para calcular a transformada inversa de uma função de . Isso está relacionado à área de Transformadas de Laplace. Para resolver, vamos precisar entender como decompor frações racionais e aplicar as fórmulas de transformadas inversas.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a função que precisamos inverter:
F(s) = s^3 + 5 s^2 + 9 s + 7(s + 1)(s + 2)
Observamos que o grau do numerador (3) é maior que o grau do denominador (2). Isso significa que precisamos fazer uma divisão polinomial antes de prosseguir.

Passo 3

Vamos dividir o numerador pelo denominador:
s^3 + 5 s^2 + 9 s + 7 div (s + 1)(s + 2)
Primeiro, multiplicamos os fatores do denominador:
(s + 1)(s + 2) = s^2 + 3s + 2
Agora, dividimos por .

Passo 4

Ao fazer a divisão, encontramos:
s^3 + 5 s^2 + 9 s + 7 = (s + 2)(s^2 + 3s + 2) + (s + 3)
Portanto, podemos reescrever F(s) = s + 2 + s + 3(s + 1)(s + 2) como:

Passo 5

Agora, vamos simplificar a fração restante usando frações parciais:
s + 3(s + 1)(s + 2) = As + 1 + Bs + 2
Multiplicando ambos os lados por s + 3 = A(s + 2) + B(s + 1) para eliminar os denominadores:

Passo 6

Vamos resolver para -2 + 3 = A(-2 + 2) + B(-2 + 1) Rightarrow 1 = 0 + B(-1) Rightarrow B = -1 e -1 + 3 = A(-1 + 2) + B(-1 + 1) Rightarrow 2 = A(1) + 0 Rightarrow A = 2 :
  • Quando :
  • Quando :

Passo 7

Substituindo s + 3(s + 1)(s + 2) = 2s + 1 - 1s + 2 e F(s) = s + 2 + 2s + 1 - 1s + 2 na expressão de frações parciais:
Então, nossa função fica:

Passo 8

Agora, vamos aplicar a transformada inversa de Laplace. Sabemos que:
  • L^-1F(s) = L^-1s + L^-12 + 2L^-11s + 1 - L^-11s + 2 (função delta de Dirac)
Aplicando isso à nossa função:

Passo 9

Calculando cada termo:

Passo 10

Juntando tudo:
L^-1F(s) = de

Resposta

A transformada inversa de f(t) = 3, de é:

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