Calcule a transformada inversa da função abaixo
Passo 1
Beleza, vamos por partes! A questão pede para calcular a transformada inversa de uma função de
. Isso está relacionado à área de Transformadas de Laplace. Para resolver, vamos precisar entender como decompor frações racionais e aplicar as fórmulas de transformadas inversas.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a função que precisamos inverter:
Observamos que o grau do numerador (3) é maior que o grau do denominador (2). Isso significa que precisamos fazer uma divisão polinomial antes de prosseguir.
Passo 3
Vamos dividir o numerador pelo denominador:
Primeiro, multiplicamos os fatores do denominador:
Agora, dividimos
por
.
Passo 4
Ao fazer a divisão, encontramos:
Portanto, podemos reescrever
como:
Passo 5
Agora, vamos simplificar a fração restante usando frações parciais:
Multiplicando ambos os lados por
para eliminar os denominadores:
Passo 6
Vamos resolver para
e
:
- Quando
:
- Quando
:
Passo 7
Substituindo
e
na expressão de frações parciais:
Então, nossa função
fica:
Passo 8
Agora, vamos aplicar a transformada inversa de Laplace. Sabemos que:
-
(função delta de Dirac) -
-
Aplicando isso à nossa função:
Passo 9
Calculando cada termo:
Passo 10
Juntando tudo:
Resposta
A transformada inversa de
é: