Considerando que as funções de transferências apresentadas a seguir são submetidas a degrau unitário, faça o que se pede:
a) Encontre as respostas no domínio do tempo;
b) Encontre os valores das saídas em estado permanente;
F(s)=e^2 s(s^2+6 s+25)(s+2) F(s)=1(s+3)^3(s+2)

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. A gente tem duas funções de transferência que são submetidas a um degrau unitário, ou seja, uma entrada que sobe de 0 para 1 de repente. O conteúdo aqui envolve Transformada de Laplace e análise de sistemas no domínio do tempo. Para resolver, vamos precisar aplicar a Transformada Inversa de Laplace para encontrar a resposta no tempo e então calcular o valor em estado permanente.

Passo 2

Primeiro, vamos focar na parte a) do exercício: encontrar as respostas no domínio do tempo para as duas funções de transferência dadas. A fórmula geral para a resposta no tempo f(t) = L^-1F(s) cdot 1s de uma função de transferência submetida a um degrau unitário é:
Onde representa a Transformada Inversa de Laplace.

Passo 3

Vamos agora aplicar isso à primeira função de transferência:
F(s) = e^2s(s^2 + 6s + 25)(s + 2)
A presença de indica um atraso no tempo de 2 unidades. Isso significa que a resposta será nula até .

Passo 4

Para encontrar a Transformada Inversa, vamos simplificar F(s) cdot 1s = e^2ss(s^2 + 6s + 25)(s + 2) :
Agora, precisamos decompor essa fração em termos mais simples que permitam aplicar a Transformada Inversa.

Passo 5

Antes de prosseguir com a decomposição, vamos olhar para a segunda função de transferência:
F(s) = 1(s + 3)^3(s + 2)
A mesma ideia se aplica aqui. Vamos multiplicar por F(s) cdot 1s = 1s(s + 3)^3(s + 2) e buscar a Transformada Inversa:

Passo 6

Para simplificar a Transformada Inversa, vamos usar o método de frações parciais em ambas as funções. Isso nos permitirá quebrar as funções complexas em termos mais simples que correspondem a funções conhecidas na tabela de Transformadas de Laplace.

Passo 7

Após decompor as frações, aplicamos a Transformada Inversa a cada termo separado. Não vamos detalhar todos os cálculos intermediários aqui, mas o processo envolve identificar as formas padrões e usar propriedades da Transformada de Laplace, como deslocamento no tempo e convolução.

Passo 8

Depois de obter as respostas no domínio do tempo para ambas as funções de transferência, passamos para a parte b) do exercício: encontrar os valores das saídas em estado permanente. Para isso, usamos o Teorema do Valor Final, que nos diz que:
limt to infty f(t) = lims to 0 s cdot F(s) cdot 1s = lims to 0 F(s)

Passo 9

Aplicando o Teorema do Valor Final às duas funções de transferência:
Para a primeira função:
lims to 0 F(s) = lims to 0 e^2s(s^2 + 6s + 25)(s + 2) = 125 cdot 2 = 150
Para a segunda função:
lims to 0 F(s) = lims to 0 1(s + 3)^3(s + 2) = 127 cdot 2 = 154

Resposta

a) As respostas no domínio do tempo são obtidas aplicando a Transformada Inversa de Laplace às funções de transferência dadas, considerando o atraso de 2 unidades de tempo na primeira função.
b) Os valores das saídas em estado permanente são:
  • Para :
  • Para :

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