Considerando que as funções de transferências apresentadas a seguir são submetidas a degrau unitário, faça o que se pede:
a) Encontre as respostas no domínio do tempo;
b) Encontre os valores das saídas em estado permanente;
a) Encontre as respostas no domínio do tempo;
b) Encontre os valores das saídas em estado permanente;
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. A gente tem duas funções de transferência
que são submetidas a um degrau unitário, ou seja, uma entrada que sobe de 0 para 1 de repente. O conteúdo aqui envolve Transformada de Laplace e análise de sistemas no domínio do tempo. Para resolver, vamos precisar aplicar a Transformada Inversa de Laplace para encontrar a resposta no tempo e então calcular o valor em estado permanente.
Passo 2
Primeiro, vamos focar na parte a) do exercício: encontrar as respostas no domínio do tempo para as duas funções de transferência dadas. A fórmula geral para a resposta no tempo
de uma função de transferência
submetida a um degrau unitário é:
Onde
representa a Transformada Inversa de Laplace.
Passo 3
Vamos agora aplicar isso à primeira função de transferência:
A presença de
indica um atraso no tempo de 2 unidades. Isso significa que a resposta será nula até
.
Passo 4
Para encontrar a Transformada Inversa, vamos simplificar
:
Agora, precisamos decompor essa fração em termos mais simples que permitam aplicar a Transformada Inversa.
Passo 5
Antes de prosseguir com a decomposição, vamos olhar para a segunda função de transferência:
A mesma ideia se aplica aqui. Vamos multiplicar por
e buscar a Transformada Inversa:
Passo 6
Para simplificar a Transformada Inversa, vamos usar o método de frações parciais em ambas as funções. Isso nos permitirá quebrar as funções complexas em termos mais simples que correspondem a funções conhecidas na tabela de Transformadas de Laplace.
Passo 7
Após decompor as frações, aplicamos a Transformada Inversa a cada termo separado. Não vamos detalhar todos os cálculos intermediários aqui, mas o processo envolve identificar as formas padrões e usar propriedades da Transformada de Laplace, como deslocamento no tempo e convolução.
Passo 8
Depois de obter as respostas no domínio do tempo para ambas as funções de transferência, passamos para a parte b) do exercício: encontrar os valores das saídas em estado permanente. Para isso, usamos o Teorema do Valor Final, que nos diz que:
Passo 9
Aplicando o Teorema do Valor Final às duas funções de transferência:
Para a primeira função:
Para a segunda função:
Resposta
a) As respostas no domínio do tempo são obtidas aplicando a Transformada Inversa de Laplace às funções de transferência dadas, considerando o atraso de 2 unidades de tempo na primeira função.
b) Os valores das saídas em estado permanente são:
- Para
: - Para
: