Considerando um sistema de segunda ordem com pólos complexos conjugados, elabore e justifique um procedimento para estimação de seus parâmetros a partir de um ensaio de aplicação de uma entrada degrau ao sistema.
e^-s T approx Rn(s)=Qn(-T s)Qn(T s) Qn(T s)=sumj=0^n (n+j)!j!(n-j)!(T s)^n-j

Passo 1

Então, vamos por partes! O que a questão está pedindo é que a gente encontre uma maneira de determinar os parâmetros de um sistema de segunda ordem que tem pólos complexos conjugados. Para isso, a gente vai usar um teste de entrada do tipo degrau aplicado ao sistema. Basicamente, queremos entender como o sistema responde a esse tipo de entrada e, a partir disso, descobrir características como a frequência natural e a taxa de amortecimento do sistema.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um sistema de segunda ordem com pólos complexos conjugados. A função de transferência de um sistema desse tipo geralmente tem a forma:
H(s) = omegan^2s^2 + 2zetaomegan s + omegan^2
Aqui, omegan é a frequência natural e zeta é o coeficiente de amortecimento. Esses são os parâmetros que queremos estimar.

Passo 3

Quando aplicamos uma entrada de degrau unitário a esse sistema, obtemos a resposta ao degrau, que nos dá informações sobre omegan e zeta. A resposta ao degrau de um sistema de segunda ordem pode ser escrita como:
c(t) = 1 - e^-zetaomegan traiz1-zeta^2 sin(omegad t + phi)
onde omegad = omeganraiz1-zeta^2 é a frequência amortecida e phi = arccos(zeta).

Passo 4

Agora, para estimar os parâmetros, podemos analisar a resposta ao degrau observando pontos chave, como o tempo de subida, o tempo de pico e o sobrepico máximo. No entanto, a questão nos apresenta uma aproximação para e^-sT usando uma função racional Rn(s).
A aproximação é dada por:
e^-s T approx Rn(s)=Qn(-T s)Qn(T s) onde Qn(T s)=sumj=0^n (n+j)!j!(n-j)!(T s)^n-j

Passo 5

Essa aproximação é útil quando temos um atraso puro no sistema, representado por e^-sT. No contexto de sistemas de segunda ordem, isso pode ser usado para modelar atrasos na resposta do sistema real. Assim, ao aplicar essa aproximação, podemos linearizar ou simplificar a análise para facilitar a estimação dos parâmetros.

Passo 6

O procedimento para estimar os parâmetros seria o seguinte:
  1. Aplicar o degrau unitário ao sistema e registrar a resposta ao degrau c(t).
  2. Analisar a resposta para identificar características como o tempo de pico, valor de sobrepico e tempo de assentamento.
  3. Usar a aproximação de e^-sT para modelar qualquer atraso presente no sistema.
  4. Ajustar o modelo de segunda ordem aos dados observados, utilizando a função racional Rn(s) para simplificar a obtenção de omegan e zeta.
  5. Resolver as equações resultantes para encontrar os valores dos parâmetros desejados.

Passo 7

Vamos detalhar o passo 4: ao ajustar o modelo aos dados, usamos a função Rn(s) para substituir o termo de atraso. Isso facilita a análise porque trabalhamos com polinômios que são mais fáceis de manipular matematicamente. Ao igualar os termos correspondentes da resposta teórica e da resposta observada, conseguimos montar um sistema de equações que pode ser resolvido para encontrar omegan e zeta.

Passo 8

Finalmente, resolvendo essas equações, obtemos os valores dos parâmetros do sistema de segunda ordem. Esse processo pode envolver métodos numéricos ou ajustes gráficos, dependendo da complexidade dos dados e da precisão desejada.

Resposta

Seguindo esse procedimento, conseguimos estimar os parâmetros omegan e zeta do sistema de segunda ordem a partir da resposta ao degrau, utilizando a aproximação racional para simplificar a análise do atraso no sistema.

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