Considerando um sistema de segunda ordem com pólos complexos conjugados, elabore e justifique um procedimento para estimação de seus parâmetros a partir de um ensaio de aplicação de uma entrada degrau ao sistema.
Passo 1
Então, vamos por partes! O que a questão está pedindo é que a gente encontre uma maneira de determinar os parâmetros de um sistema de segunda ordem que tem pólos complexos conjugados. Para isso, a gente vai usar um teste de entrada do tipo degrau aplicado ao sistema. Basicamente, queremos entender como o sistema responde a esse tipo de entrada e, a partir disso, descobrir características como a frequência natural e a taxa de amortecimento do sistema.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um sistema de segunda ordem com pólos complexos conjugados. A função de transferência de um sistema desse tipo geralmente tem a forma:
Aqui,
é a frequência natural e
é o coeficiente de amortecimento. Esses são os parâmetros que queremos estimar.
Passo 3
Quando aplicamos uma entrada de degrau unitário a esse sistema, obtemos a resposta ao degrau, que nos dá informações sobre
e
. A resposta ao degrau de um sistema de segunda ordem pode ser escrita como:
onde
é a frequência amortecida e
.
Passo 4
Agora, para estimar os parâmetros, podemos analisar a resposta ao degrau observando pontos chave, como o tempo de subida, o tempo de pico e o sobrepico máximo. No entanto, a questão nos apresenta uma aproximação para
usando uma função racional
.
A aproximação é dada por:
Passo 5
Essa aproximação é útil quando temos um atraso puro no sistema, representado por
. No contexto de sistemas de segunda ordem, isso pode ser usado para modelar atrasos na resposta do sistema real. Assim, ao aplicar essa aproximação, podemos linearizar ou simplificar a análise para facilitar a estimação dos parâmetros.
Passo 6
O procedimento para estimar os parâmetros seria o seguinte:
- Aplicar o degrau unitário ao sistema e registrar a resposta ao degrau
. - Analisar a resposta para identificar características como o tempo de pico, valor de sobrepico e tempo de assentamento.
- Usar a aproximação de
para modelar qualquer atraso presente no sistema. - Ajustar o modelo de segunda ordem aos dados observados, utilizando a função racional
para simplificar a obtenção de e . - Resolver as equações resultantes para encontrar os valores dos parâmetros desejados.
Passo 7
Vamos detalhar o passo 4: ao ajustar o modelo aos dados, usamos a função
para substituir o termo de atraso. Isso facilita a análise porque trabalhamos com polinômios que são mais fáceis de manipular matematicamente. Ao igualar os termos correspondentes da resposta teórica e da resposta observada, conseguimos montar um sistema de equações que pode ser resolvido para encontrar
e
.
Passo 8
Finalmente, resolvendo essas equações, obtemos os valores dos parâmetros do sistema de segunda ordem. Esse processo pode envolver métodos numéricos ou ajustes gráficos, dependendo da complexidade dos dados e da precisão desejada.
Resposta
Seguindo esse procedimento, conseguimos estimar os parâmetros
e
do sistema de segunda ordem a partir da resposta ao degrau, utilizando a aproximação racional para simplificar a análise do atraso no sistema.